Unitariskt trick

I matematik är det unitariska tricket en anordning i representationsteorin för Lie-grupper , introducerad av Adolf Hurwitz ( 1897 ) för den speciella linjära gruppen och av Hermann Weyl för allmänna halvenkla grupper. Det gäller för att visa att representationsteorin för någon grupp G på ett kvalitativt sätt styrs av den för någon annan kompakt grupp K . Ett viktigt exempel är det där G är den komplexa allmänna linjära gruppen och K den enhetliga gruppen som verkar på vektorer av samma storlek. Av det faktum att representationerna av K är helt reducerbara dras samma slutsats för de av G , åtminstone i ändliga dimensioner.

Relationen mellan G och K som driver denna koppling uttrycks traditionellt i termerna att Lie-algebra av K är en verklig form av G . I teorin om algebraiska grupper kan sambandet också sättas att K är en tät delmängd av G , för Zariski-topologin .

Tricket fungerar för reduktiva Lie-grupper , av vilka ett viktigt fall är halvenkla Lie-grupper .

Weyls teorem

Huvudartikel: Weyls teorem om fullständig reducerbarhet

Den fullständiga reducerbarheten av finita dimensionella linjära representationer av kompakta grupper, eller sammankopplade semisimple Lie-grupper och komplexa semisimple Lie-algebror går ibland under namnet Weyls teorem . Ett relaterat resultat, att det universella höljet för en kompakt halvenkel Lie-grupp också är kompakt, går också under samma namn.

Historia

Adolf Hurwitz hade visat hur integration över en kompakt Lie-grupp kunde användas för att konstruera invarianter, i fall av enhetliga grupper och kompakta ortogonala grupper . Issai Schur 1924 visade att denna teknik kan tillämpas för att visa fullständig reducering av representationer för sådana grupper via konstruktionen av en invariant inre produkt. Weyl utökade Schurs metod till komplexa semisimple Lie algebror genom att visa att de hade en kompakt verklig form .

Anteckningar

• VS Varadarajan, An introduction to harmonic analysis on semisimple Lie-grupper (1999), sid. 49.
• Wulf Rossmann, Lie groups: an introduction through linear groups (2006), sid. 225.
• Roe Goodman, Nolan R. Wallach, Symmetry, Representations, and Invariants (2009), sid. 171.
• Hurwitz, A. (1897), "Über die Erzeugung der Invarienten durch Integration", Nachrichten Ges. Wiss. Göttingen : 71–90