Weinsteins gissning

Inom matematiken hänvisar Weinstein -förmodan till ett allmänt existensproblem för periodiska omloppsbanor av Hamiltonska eller Reeb -vektorflöden . Mer specifikt hävdar gissningen att på ett kompakt kontaktgrenrör bör dess Reeb-vektorfält ha minst en periodisk omloppsbana.

Per definition tillåter en nivåuppsättning av kontakttyp ett kontaktformulär som erhållits genom att sammandra det Hamiltonska vektorfältet till den symboliska formen. I det här fallet är Hamilton-flödet ett Reeb-vektorfält på den nivåuppsättningen. Det är ett faktum att vilket kontaktgrenrör ( M ,α) som helst kan bäddas in i ett kanoniskt symplektiskt grenrör, kallat symboliseringen av M , så att M är en kontakttypnivåuppsättning (av en kanoniskt definierad Hamiltonian) och Reeb-vektorfältet är ett Hamiltonskt flöde. Det vill säga, vilket kontaktgrenrör som helst kan göras för att uppfylla kraven i Weinstein-förmodan. Eftersom, som det är trivialt att visa, varje bana av ett Hamilton-flöde finns i en nivåuppsättning, är Weinstein-förmodan ett uttalande om kontaktgrenrör.

Det har varit känt att alla kontaktformulär är isotopiska till en form som tillåter en stängd Reeb-bana; till exempel, för alla kontaktgrenrör finns det en kompatibel öppen bok dekomposition , vars bindning är en sluten Reeb-bana. Detta är dock inte tillräckligt för att bevisa Weinstein-förmodan, eftersom Weinstein-förmodan säger att varje kontaktformulär tillåter en stängd Reeb-bana, medan en öppen bok bestämmer en sluten Reeb-bana för en form som endast är isotopisk för den givna formen.

Gissningen formulerades 1978 av Alan Weinstein . I flera fall var förekomsten av en periodisk bana känd. Till exempel visade Rabinowitz att det på stjärnformade nivåuppsättningar av en Hamiltonsk funktion på ett symplektiskt grenrör, fanns det alltid periodiska banor (Weinstein bevisade oberoende det speciella fallet med konvexa nivåuppsättningar). Weinstein observerade att hypoteserna för flera sådana existenssatser kunde subsumeras under förutsättning att nivåuppsättningen är av kontakttyp. (Weinsteins ursprungliga gissning inkluderade villkoret att den första de Rham-kohomologigruppen i nivåuppsättningen är trivial; denna hypotes visade sig vara onödig).

Weinstein-förmodan bevisades först för kontakthyperytor i $\mathbb {R} ^{2n}$ 1986 av Viterbo , sedan utvidgades till cotangenta buntar av Hofer–Viterbo och till bredare klasser av asfäriska grenrör av Floer–Hofer–Viterbo. Närvaron av holomorfa sfärer användes av Hofer–Viterbo. Alla dessa fall handlade om situationen där kontaktgrenröret är en kontaktdel av ett symplektiskt grenrör. Ett nytt tillvägagångssätt utan detta antagande upptäcktes i dimension 3 av Hofer och är ursprunget till kontakthomologi.

Weinstein-förmodan har nu bevisats för alla slutna 3-dimensionella grenrör av Clifford Taubes . Beviset använder en variant av Seiberg-Witten Floer-homologi och följer en strategi som är analog med Taubes bevis på att Seiberg-Witten- och Gromov-invarianterna är likvärdiga på en symplektisk fyrmanifold. Speciellt ger beviset en genväg till det närbesläktade programmet för att bevisa Weinstein-förmodan genom att visa att den inbäddade kontakthomologin för alla kontakt-tremanifolder är icke-trivial.

Vidare läsning

• Ginzburg (2003). "Weinsteins gissningar och teoremerna om närliggande och nästan existens". arXiv : math/0310330 .
•     Hutchings, M. (2010). "Taubes bevis på Weinstein-förmodan i dimension tre" ( PDF) . Bulletin från American Mathematical Society . 47 (1): 73–125. arXiv : 0906.2444 . CiteSeerX 10.1.1.249.8129 . doi : 10.1090/S0273-0979-09-01282-8 . MR 2566446 . S2CID 12736780 .