Enhetlig gränssats

Motexempel till en förstärkning av enhetsgränssatsen, där punktvis konvergens, snarare än enhetlig konvergens, antas. De kontinuerliga gröna funktionerna $\scriptstyle \scriptstyle \sin ^{n}(x)$ konvergerar till den icke-kontinuerliga röda funktionen. Detta kan bara hända om konvergensen inte är enhetlig.

Inom matematiken säger den enhetliga gränssatsen att den enhetliga gränsen för varje sekvens av kontinuerliga funktioner är kontinuerlig.

Påstående

Mer exakt, låt X vara ett topologiskt rum , låt Y vara ett metriskt rum , och låt ƒ _n : X → Y vara en sekvens av funktioner som konvergerar enhetligt till en funktion ƒ : X → Y . Enligt den enhetliga gränssatsen, om var och en av funktionerna ƒ _n är kontinuerlig, måste gränsen ƒ också vara kontinuerlig.

Detta teorem håller inte om enhetlig konvergens ersätts med punktvis konvergens . Låt till exempel ƒ _n : [0, 1] → R vara sekvensen av funktioner ƒ _n ( x ) = x ⁿ . Då är varje funktion ƒ _n kontinuerlig, men sekvensen konvergerar punktvis till den diskontinuerliga funktionen ƒ som är noll på [0, 1) men har ƒ(1) = 1. Ett annat exempel visas i den intilliggande bilden.

När det gäller funktionsrum säger den enhetliga gränssatsen att rymden C ( X , Y ) för alla kontinuerliga funktioner från ett topologiskt rum X till ett metriskt rymd Y är en sluten delmängd av Y ^X under den enhetliga metriken . I fallet där Y är komplett , följer det att C ( X , Y ) i sig är ett komplett metriskt utrymme. I synnerhet, om Y är ett Banach-utrymme , då är C ( X , Y ) i sig ett Banach-utrymme under den enhetliga normen .

Den enhetliga gränssatsen gäller även om kontinuitet ersätts med enhetlig kontinuitet . Det vill säga, om X och Y är metriska rum och ƒ _n : X → Y är en sekvens av enhetligt kontinuerliga funktioner som konvergerar enhetligt till en funktion ƒ, då måste ƒ vara enhetligt kontinuerlig.

Bevis

För att bevisa kontinuiteten för f måste vi visa att för varje ε > 0 finns det en grannskap U av vilken punkt x som helst i X så att:

$d_{Y}(f(x),f(y))<\varepsilon ,\qquad \forall y\in U$

Betrakta ett godtyckligt ε > 0. Eftersom sekvensen av funktioner (f _n ) konvergerar enhetligt till f genom hypotes, finns det ett naturligt tal N så att:

$d_{Y}(f_{N}(t),f(t))<{\frac {\varepsilon }{3}},\qquad \forall t\in X$

Dessutom, eftersom f _N är kontinuerlig på X genom hypotes, för varje x finns det en grannskap U så att:

$d_{Y}(f_{N}(x),f_{N}(y))<{\ frac {\varepsilon }{3}},\qquad \forall y\in U$

I det sista steget tillämpar vi triangelolikheten på följande sätt:

${\begin{aligned}d_{Y}(f(x),f(y))& \leq d_{Y}(f(x),f_{N}(x))+d_{Y}(f_{N}(x),f_{N}(y))+d_{Y}(f_{ N}(y),f(y))\\&<{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}} =\varepsilon ,\qquad \forall y\in U\end{aligned}}$

Därför har vi visat att den första olikheten i beviset gäller, så per definition är f kontinuerlig överallt på X .

Enhetlig gränssats i komplex analys

Det finns även varianter av den enhetliga gränssatsen som används i komplex analys, om än med modifierade antaganden.

Sats. Låt $\Omega$ vara en öppen och sammankopplad delmängd av de komplexa talen. Antag att $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ är en sekvens av holomorfa funktioner $f_{n} :\Omega \to \mathbb {C}$ som konvergerar enhetligt till en funktion $f:\Omega \to \mathbb {C}$ på varje kompakt delmängd av $\Omega$ . Då $f$ holomorf i $\Omega$ , och dessutom är sekvensen av derivator $(f'_{n})_{n=1 }^{\infty }$ konvergerar enhetligt till $f'$ på varje kompakt delmängd av $\Omega$ .

Sats. Låt $\Omega$ vara en öppen och sammankopplad delmängd av de komplexa talen. Antag att $(f_{n})_{n=1}^{\infty }$ är en sekvens av univalenta funktioner $f_{n} :\Omega \to \mathbb {C}$ som konvergerar enhetligt till en funktion $f:\Omega \to \mathbb {C}$ . Då $f$ holomorf, och dessutom är $f$ antingen univalent eller konstant i $\Omega$ .

Anteckningar

•   James Munkres (1999). Topologi (2:a uppl.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2 .

• EM Stein, R. Shakarachi (2003). Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, nr 2) , Princeton University Press, s.53-54.

• EC Titchmarsh (1939). The Theory of Functions , 2002 Reprint, Oxford Science Publications.