Virtuella svarta hål

I kvantgravitationen är ett virtuellt svart hål ett hypotetiskt mikrosvart hål som existerar tillfälligt som ett resultat av en kvantfluktuation av rumtiden . Det är ett exempel på kvantskum och är gravitationsanalogen till de virtuella elektron - positronparen som finns i kvantelektrodynamik . Teoretiska argument tyder på att virtuella svarta hål bör ha en massa i storleksordningen Planckmassan, livstid runt Plancktiden , och förekomma med en taldensitet på ungefär en per Planckvolym .

Uppkomsten av virtuella svarta hål på Planck-skalan är en konsekvens av osäkerhetsrelationen

$\Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}={\frac {\ hbar G}{c^{3}}}$

där $R_{\mu }$ är krökningsradien för en liten rumstidsdomän, $x_{\mu }$ är koordinaten för den lilla domänen, $\ell _{ P}$ är Plancklängden , $\hbar$ är den reducerade Planck-konstanten , $G$ är den Newtonska gravitationskonstanten och $c$ är ljusets hastighet . Dessa osäkerhetsrelationer är en annan form av Heisenbergs osäkerhetsprincip på Planck-skalan .

Bevis

Dessa osäkerhetsrelationer kan faktiskt erhållas på basis av Einsteins ekvationer $G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4} }T_{\mu \nu }$ där $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }$ är Einstein tensor , som kombinerar Ricci-tensorn , den skalära krökningen och den metriska tensorn ; $\Lambda$ är den kosmologiska konstanten ; а $T_{\mu \nu }$ är materiens energi-momentumtensor; $\pi$ är den matematiska konstanten pi ; $c$ är ljusets hastighet ; och $G$ är den Newtonska gravitationskonstanten . Einstein föreslog att det fysiska rummet är Riemannskt, dvs krökt och satte därför Riemannsk geometri till grund för gravitationsteorin. En liten region av Riemannian utrymme är nära platt utrymme. För alla tensorfält $N_{\mu \nu ...}$ kan vi kalla $N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}$ en tensordensitet, där $g$ är determinanten för den metriska tensorn $g_{ \mu \nu }$ . Integralen $\int N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ är en tensor om integrationsdomänen är liten. Det är inte en tensor om integreringsdomänen inte är liten, eftersom den då består av en summa av tensorer placerade vid olika punkter och den transformerar inte på något enkelt sätt under en transformation av koordinater. Här tar vi bara hänsyn till små domäner. Detta gäller även för integrationen över den tredimensionella hyperytan $S^{\nu }$ . Således kan Einsteins fältekvationer för en liten rumtidsdomän integreras av den tredimensionella hyperytan $S^{\nu }$ . Ha ${\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu}\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }={2G \over c^{4}} \int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ Eftersom den integrerbara rum-tidsdomänen är liten får vi tensorekvationen $R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }$ där $P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g} }\,dS^{\nu }$ är komponenten av materiens 4-momentum , $R_{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu}+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS ^{\nu }$ är komponenten av krökningsradien liten domän. Den resulterande tensorekvationen kan skrivas om i en annan form. Eftersom $P_{\mu }=mc\,U_{\mu }$ så $R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{\mu }=r_{ s}\,U_{\mu }$ där $r_{s}$ är Schwarzschild-radien , $U_{\mu }$ är 4-hastigheten, $m$ är gravitationsmassan. Denna post avslöjar den fysiska betydelsen av ${\displaystyle R_{\mu }}-$ värdena som komponenter av gravitationsradien $r_{\text{s}}$ . av rymd är tiden nästan platt och denna ekvation kan skrivas i operatorformen ${\hat {R}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat {P}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}(-i\hbar ){ \frac {\partial }{\partial \,x^{\mu }}}=-2i\,\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial \,x^{\ mu }}}$ eller Den grundläggande ekvationen för kvantgravitation $-2i\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}|\Psi (x_{\mu })\ rangle ={\hat {R}}_{\mu }|\Psi (x_{\mu })\rangle$ är kommutatorn för operatorerna ${\hat {R}}_{\mu }$ och ${\hat {x}}_{\mu }$ $[{\hat {R}}_{\mu },{\hat {x}}_{\mu }]=-2i\ ell _{P}^{2}$ Härifrån följer de angivna osäkerhetsförhållandena $\Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}$ Ersätter värdena för $R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}m\,c\,U_{\mu }$ och $\ell _{P}^{2}={\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}$ och reducera identiska konstanter från två sidor, vi får Heisenbergs osäkerhetsprincip $\Delta P_{\mu }\Delta x_{\mu }=\Delta (mc\,U_{\mu }) \Delta x_{\mu }\geq {\frac {\hbar }{2}}$ I det speciella fallet med ett statiskt sfäriskt symmetriskt fält och statisk fördelning av materia $U_{0}=1,U_{i}=0\,( i=1,2,3)$ och har blivit kvar $\Delta R_{0}\Delta x_{0}=\Delta r_{\text{s}}\Delta r\geq \ell _{P }^{2}$ där $r_{\text{s}}$ är Schwarzschild-radien , $r$ är den radiella koordinaten. Här är $R_{0}=r_{\text{s}}$ och $x_{0}=c\,t=r$ , eftersom saken rör sig med ljusets hastighet i Planckskalan. Sista osäkerhetsrelationen gör att vi kan göra några uppskattningar av den allmänna relativitetstekvationen på Planck-skalan . Till exempel har ekvationen för det invarianta intervallet $dS$ в i Schwarzschild-lösningen formen $dS^{2} =\left(1-{\frac {r_{\text{s}}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1- {r_{\text{s}}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$ Ersätt enligt osäkerhetsrelationerna $r_{\text{s}}\approx \ell _{P}^{2}/r$ . Vi får $dS ^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\ frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$ Det kan ses att på Planck-skalan $r=\ell _{P}$ är rymdtidsmåttet begränsat nedanför av Plancklängden (division med noll visas), och på denna skala finns det verkliga och virtuella Planckiska svarta hål. Liknande uppskattningar kan göras i andra ekvationer av allmän relativitet . Till exempel, analys av Hamilton–Jacobis ekvation för ett centralt symmetriskt gravitationsfält i utrymmen av olika dimensioner (med hjälp av det resulterande osäkerhetsförhållandet) indikerar en preferens för tredimensionellt utrymme för uppkomsten av virtuella svarta hål ( kvantskum , grunden för universums "tyg".). Detta kan ha förutbestämt tredimensionaliteten i det observerade rummet. Osäkerhetsrelationen som föreskrivs ovan är giltig för starka gravitationsfält, eftersom i vilken som helst tillräckligt liten domän av ett starkt fält är rymdtiden i huvudsak platt.

Om virtuella svarta hål finns ger de en mekanism för protonsönderfall . Detta beror på att när ett svart håls massa ökar via massa som faller ner i hålet, och är teoretiskt minskat när Hawking-strålning sänds ut från hålet, är de elementära partiklarna som emitteras i allmänhet inte desamma som de som föll i. Därför, om två av en protons ingående kvarkar faller in i ett virtuellt svart hål, är det möjligt för en antikvark och en lepton att dyka upp, vilket bryter mot bevarandet av baryonnummer .

Förekomsten av virtuella svarta hål förvärrar informationsförlustparadoxen för svarta hål , eftersom varje fysisk process potentiellt kan störas av interaktion med ett virtuellt svart hål.

Se även

• Kvantskum
• Virtuell partikel
• Kvanttunneling