Vinkelrät halvledarkonstruktion av en fyrhörning

Inom geometri är den vinkelräta bisektriskonstruktionen av en fyrhörning en konstruktion som producerar en ny fyrhörning från en given fyrhörning med hjälp av de vinkelräta bisektrarna till sidorna av den tidigare fyrhörningen. Denna konstruktion uppstår naturligt i ett försök att hitta en ersättning för omkretsen av en fyrhörning i det fall som är icke-cykliskt.

Definition av konstruktionen

Antag att hörnen på fyrhörningen $Q$ ges av $Q_{1},Q_{2},Q_{3},Q_{4}$ . Låt $b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}$ vara de vinkelräta halveringslinjerna för sidorna $Q_{1}Q_{2},Q_{2}Q_{3},Q_{3}Q_{4},Q_{4}Q_{1}$ respektive . Sedan deras skärningspunkter ${\displaystyle Q_{i}^{(2)}=b_{i+2}b_{i+3}} ,$ med sänkningar som anses modulo 4 , bildar den efterföljande fyrhörningen $Q^{(2)}$ . Konstruktionen itereras sedan på $Q^{(2)}$ för att producera $Q^{(3)}$ och så vidare.

Första iterationen av den vinkelräta halveringslinjen

En ekvivalent konstruktion kan erhållas genom att låta hörnen på $Q^{(i+1)}$ vara omkretsen av de 4 trianglarna som bildas genom att välja kombinationer av 3 hörn av ${ \displaystyle Q^{(i)}}$ .

Egenskaper

1. Om $Q^{(1)}$ inte är cyklisk, så är $Q^{(2)}$ inte degenererad.

2. Fyrhörning $Q^{(2)}$ är aldrig cyklisk. Att kombinera #1 och #2, $Q^{(3)}$ är alltid icke-degenerat.

3. Fyrhörningar $Q^{(1)}$ och $Q^{(3)}$ är homotetiska och i synnerhet liknande . Fyrhörningar $Q^{(2)}$ och $Q^{(4)}$ är också homotetiska.

3. Den vinkelräta bisektorkonstruktionen kan vändas via isogonal konjugering . Det vill säga, givet $Q^{(i+1)}$ är det möjligt att konstruera $Q^{(i)}$ .

4. Låt $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ vara vinklarna för $Q^{(1)}$ . För varje $i$ är förhållandet mellan områdena $Q^{(i)}$ och $Q^{(i+1)}$ getts av

$(1/4)(\cot(\alpha )+\cot(\gamma ))(\cot(\beta )+\cot(\delta )).$

5. Om $Q^{(1)}$ är konvex så är sekvensen av fyrhörningar $Q^{(1)},Q^{ (2)},\ldots$ konvergerar till den isoptiska punkten för ${\displaystyle Q^{(1)}} ,$ som också är den isoptiska punkten för varje $Q^{(i) )}$ . På liknande sätt, om $Q^{(1)}$ är konkav, då sekvensen $Q^{(1)} ,Q^{(0)},Q^{(-1)},\ldots$ erhålls genom att vända konstruktionen konvergerar till den isoptiska punkten för $Q^{(i)}$ s .

• J. Langr, Problem E1050, Amer. Matematik. Monthly , 60 (1953) 551.
• VV Prasolov, Plane Geometry Problems , vol. 1 (på ryska), 1991; Problem 6.31.
• VV Prasolov, Problems in Plane and Solid Geometry , vol. 1 (översatt av D. Leites), tillgänglig på http://students.imsa.edu/~tliu/math/planegeo.eps .
• D. Bennett, Dynamic geometry förnyar intresset för ett gammalt problem, i Geometry Turned On , (red. J. King), MAA Notes 41, 1997, s. 25–28.
• J. King, Quadrilaterals formed by perpendicular bisectors, in Geometry Turned On , (red. J. King), MAA Notes 41, 1997, s. 29–32.
• GC Shephard, Den vinkelräta bisektorkonstruktionen, Geom. Dedicata , 56 (1995) 75–84.
• A. Bogomolny , fyrhörningar bildade av vinkelräta bisektrar, Interactive Mathematics Miscellany och Pussel , http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PerpBisectQuadri.shtml .
• B. Grünbaum, On quadrangles härledd från quadrangles—Del 3, Geombinatorics 7(1998), 88–94.
• O. Radko och E. Tsukerman, The Perpendicular Bisector Construction, the Isoptic Point and the Simson Line of a Quadrilateral, Forum Geometricorum 12 : 161–189 (2012).