Rationell rotsats

I algebra anger den rationella rotsatsen (eller rationell rottest , rationell nollsats , rationell nolltest eller $p / q$ -sats ) en begränsning för rationella lösningar av en polynomekvation

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{ 0}=0

med heltalskoefficienter $Z} }$ { och $a_{0},a_{n}\neq 0$ . Lösningar av ekvationen kallas också rötter eller nollor av polynomet på vänster sida.

Satsen säger att varje rationell lösning $x = p ⁄ q$ , skriven i lägsta termer så att $p$ och $q$ är relativt primtal , uppfyller:

$p$ är en heltalsfaktor för den konstanta termen $a 0$ och

$q$ är en heltalsfaktor för den ledande koefficienten $a n$ .

Den rationella rotsatsen är ett specialfall (för en enda linjär faktor) av Gauss lemma om faktorisering av polynom. Integralrotsatsen är specialfallet för den rationella rotsatsen när den ledande koefficienten är a $n = 1$ .

Ansökan

Satsen används för att hitta alla rationella rötter till ett polynom, om några. Det ger ett ändligt antal möjliga fraktioner som kan kontrolleras för att se om de är rötter. Om en rationell rot $x = r$ hittas, kan ett linjärt polynom $(x - r)$ faktoriseras ur polynomet med hjälp av polynomets långdivision, vilket resulterar i ett polynom av lägre grad vars rötter också är rötter från det ursprungliga polynomet.

Kubikekvation

Den allmänna kubikekvationen

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

med heltalskoefficienter har tre lösningar i det komplexa planet . Om det rationella rottestet inte hittar några rationella lösningar, är det enda sättet att uttrycka lösningarna algebraiskt att använda kubrötter . Men om testet hittar en rationell lösning $r$ lämnar utfaktorn $(x - r)$ ett andragradspolynom vars två rötter, hittade med kvadratformeln , är de återstående två rötterna av kubiken, och undviker kubrötter.

Bevis

Elementärt bevis

Låt $P(x)\ =\ a_{n}x^{n}+a_{n -1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ med $a_{0},\ldots a_{n}\in \mathbb {Z} .$

Antag att $P (p / q) = 0$ för någon coprime $p, q \in ℤ$ :

P\left({\tfrac { p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p} {q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.

För att rensa nämnare, multiplicera båda sidor med $q n$ :

a_{n}p^{n}+a_{n-1} p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.

Att flytta $a 0$ -termen till höger och faktorisera ut $p$ på vänster sida ger:

p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right) =-a_{0}q^{n}.

Således delar $p$ $0 a q n$ . Men $p$ är coprime till $q$ och därför till $q n$ , så enligt Euklids lemma måste $p$ dividera den återstående faktorn $a 0$ .

Å andra sidan, om du flyttar termen $a n$ till höger och faktorisering av $q$ på vänster sida får du:

q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\ höger)=-a_{n}p^{n}.

Resonemang som tidigare följer att $q$ delar $ett n$ .

Bevis med Gauss lemma

Skulle det finnas en icke-trivial faktor som delar polynomets alla koefficienter, så kan man dividera med den största gemensamma divisorn av koefficienterna för att få ett primitivt polynom i betydelsen av Gauss lemma ; detta förändrar inte uppsättningen av rationella rötter och stärker bara delbarhetsvillkoren. Det lemma säger att om polynomet faktorer i $Q [X]$ , så räknar det också in $Z [X]$ som en produkt av primitiva polynom. Nu motsvarar vilken rationell rot som helst $p / q$ en faktor på grad 1 i $Q [X]$ i polynomet, och dess primitiva representant är då $qx - p$ , förutsatt att $p$ och $q$ är coprime. Men vilken multipel som helst i $Z [X]$ av $qx - p$ har inledande term delbar med $q$ och konstant term delbar med $p$ , vilket bevisar påståendet. Detta argument visar att mer generellt kan varje irreducerbar faktor för $P$ antas ha heltalskoefficienter, och ledande och konstanta koefficienter som delar motsvarande koefficienter för $P$ .

Exempel

Först

I polynomet

2x^{3}+x-1,

varje rationell rot helt reducerad skulle behöva ha en täljare som delar sig jämnt i 1 och en nämnare som delar sig jämnt i 2. Därför är de enda möjliga rationella rötterna ±1/2 och ±1; eftersom ingen av dessa likställer polynomet med noll, har det inga rationella rötter.

Andra

I polynomet

x^{3}-7x+6

de enda möjliga rationella rötterna skulle ha en täljare som delar 6 och en nämnare som delar 1, vilket begränsar möjligheterna till ±1, ±2, ±3 och ±6. Av dessa likställer 1, 2 och –3 polynomet till noll, och är därför dess rationella rötter. (Faktiskt är dessa dess enda rötter eftersom en kubik bara har tre rötter; i allmänhet kan ett polynom ha några rationella och några irrationella rötter.)

Tredje

Varje rationell rot av polynomet

3x^{3}-5x^{2}+5x-2

måste finnas bland siffrorna

\pm {\tfrac {1,2}{1,3}}=\pm \left\{1,2,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3} }\höger\}.

Dessa 8 grundkandidater $x = r$ kan testas genom att utvärdera $P (r)$ , till exempel med hjälp av Horners metod . Det visar sig att det finns exakt en med $P (r) = 0$ .

Denna process kan göras mer effektiv: om $P (r) \neq 0$ , kan den användas för att förkorta listan över återstående kandidater. Till exempel fungerar inte $x = 1 , eftersom$ $P (1) = 1$ . Att ersätta $x = 1 + t$ ger ett polynom i $t$ med konstant term $P (1) = 1 ,$ medan koefficienten för $t 3$ förblir densamma som koefficienten för $x 3$ . Att tillämpa den rationella rotsatsen ger alltså de möjliga rötterna ${\displaystyle t=\pm {\tfrac {1}{1,3}}} ,$ så att

x=1+t=2,0,{\tfrac {4}{3}},{\tfrac {2}{3}}.

Sanna rötter måste förekomma på båda listorna, så listan över rationella rotkandidater har krympt till bara $x = 2$ och $x = 2/3$ .

Om $k \geq 1$ rationella rötter hittas kommer Horners metod också att ge ett polynom av grad $n - k$ vars rötter, tillsammans med de rationella rötterna, är exakt rötterna till det ursprungliga polynomet. Om ingen av kandidaterna är en lösning kan det inte finnas någon rationell lösning.

Se även

Anteckningar

Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra . Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3:e upplagan 1990, ISBN 0-673-38638-4 , s. 216–221
Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: Den elementära matematikens historiska rötter . Dover Courier Publications 1998, ISBN 0-486-25563-8 , s. 116–117 ( onlinekopia , s. 116, på Google Books )
Ron Larson: Calculus: An Applied Approach . Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2 , s. 23–24 ( onlinekopia , s. 23, på Google Books )

externa länkar

Weisstein, Eric W. "Rational Zero Theorem" . MathWorld .
RationalRootTheorem på PlanetMath
Ett annat bevis på att n: ^te rötter av heltal är irrationella, förutom perfekta n:te potenser av Scott E. Brodie
The Rational Roots Test på purplemath.com