Vektorlogik

Vektorlogik är en algebraisk modell av elementär logik baserad på matrisalgebra . Vektorlogik förutsätter att sanningsvärdena kartläggs på vektorer och att de monadiska och dyadiska operationerna exekveras av matrisoperatorer. "Vektorlogik" har också använts för att hänvisa till representationen av klassisk propositionslogik som ett vektorrum , där enhetsvektorerna är propositionsvariabler . Predikatlogik kan representeras som ett vektorrum av samma typ där axlarna representerar predikatbokstäverna $S$ och $P$ . I vektorrummet för propositionell logik representerar ursprunget det falska, F, och den oändliga periferin representerar det sanna, T, medan i rummet för predikatlogik representerar ursprunget "ingenting" och periferin representerar flykten från ingenting, eller "något". ".

Översikt

Klassisk binär logik representeras av en liten uppsättning matematiska funktioner beroende på en (monadisk) eller två (dyadiska) variabler. I den binära uppsättningen motsvarar värdet 1 true och värdet 0 till false . En tvåvärdig vektorlogik kräver en överensstämmelse mellan sanningsvärdena sant (t) och falskt (f), och två q -dimensionella normaliserade reella kolumnvektorer s och n , därför:

$t\mapsto s$ och $f\mapsto n$

(där $q\geq 2$ är ett godtyckligt naturligt tal, och "normaliserad" betyder att längden på vektorn är 1; vanligtvis är s och n ortogonala vektorer). Denna överensstämmelse genererar ett utrymme av vektorsanningsvärden: V ₂ = { s , n }. De grundläggande logiska operationerna som definieras med denna uppsättning vektorer leder till matrisoperatorer.

Vektorlogikens operationer är baserade på skalärprodukten mellan q -dimensionella kolumnvektorer: $u^{T}v=\langle u,v\rangle$ : ortonormaliteten mellan vektorer s och n innebär att $\langle u,v\rangle =1$ om $u=v$ , och $\langle u ,v\rangle =0$ om $u\neq v$ , där $u,v\in \{s,n\}$ .

Monadiska operatörer

De monadiska operatorerna är resultatet av applikationen $Mon:V_{2}\to V_{2}$ , och de associerade matriserna har q rader och q kolumner. De två grundläggande monadiska operatorerna för denna tvåvärdiga vektorlogik är identiteten och negationen :

• Identitet : Ett logiskt identitets-ID( p ) representeras av matrisen $I=ss^{T}+nn^{T}$ . Denna matris fungerar enligt följande: Ip = p , p ∈ V ₂ ; på grund av ortogonaliteten hos s med avseende på n har vi ${\displaystyle Is=ss^{T }s+nn^{T}s=s\langle s,s\rangle +n\langle n,s\rangle =s} , och på liknande sätt I n = n {$ \ $}$ . Det är viktigt att notera att denna vektorlogiska identitetsmatris i allmänhet inte är en identitetsmatris i betydelsen matrisalgebra.
• Negation : En logisk negation ¬ p representeras av matrisen $N=ns^{T}+sn^{T}$ Följaktligen är Ns = n och Nn = s . Det ofrivilliga beteendet hos den logiska negationen, nämligen att ¬(¬ p ) är lika med p , motsvarar det faktum att N ² = I .

Dyadiska operatörer

De 16 tvåvärdiga dyadiska operatorerna motsvarar funktioner av typen $Dyad:V_{2}\otimes V_{2}\to V_{2}$ ; de dyadiska matriserna har q ² rader och q kolumner. Matriserna som utför dessa dyadiska operationer är baserade på egenskaperna hos Kronecker-produkten . Två egenskaper hos denna produkt är väsentliga för vektorlogikens formalism:

1. Den blandade produktegenskapen

   Om A , B , C och D är matriser av sådan storlek att man kan bilda matrisprodukterna AC och BD , då

   $(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD$

2. Distributiv transponering Transponeringsoperationen är distributiv över Kronecker-produkten:
   $(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T}.$

Med hjälp av dessa egenskaper kan uttryck för dyadiska logiska funktioner erhållas:

• Konjunktion . Konjunktionen ( p ∧ q ) exekveras av en matris som verkar på två vektorsannningsvärden: $C(u\otimes v)$ .Denna matris återger egenskaperna hos den klassiska konjunktionen truth- tabell i sin formulering:

${\displaystyle C=s(s\otimes s) ^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T}} och$

verifierar

$C(s\otimes s)=s,$ och

$C(s\otimes n)=C(n\otimes s)=C(n\otimes n)=n.$

• Disjunktion . Disjunktionen ( p ∨ q ) exekveras av matrisen

$D =s(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n)^{T},$ vilket resulterar i

$D(s\otimes s)=D(s\otimes n)=D(n\otimes s) =s$ och

$D(n\otimes n)=n.$

• Implikation . Implikationen motsvarar i klassisk logik uttrycket p → q ≡ ¬ p ∨ q . Vektorlogikversionen av denna ekvivalens leder till en matris som representerar denna implikation i vektorlogik: $L=D(N\otimes I)$ . Det explicita uttrycket för denna implikation är:

${\displaystyle L=s(s) \otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T},} och egenskaperna$

för klassiska implikationer är uppfyllda:

$L(s\otimes s)=L(n\otimes s)=L(n\ ibland n)=s$ och

$L(s\otimes n)=n.$

• Ekvivalens och Exklusiv eller . I vektorlogik representeras ekvivalensen p ≡ q av följande matris:

${\ displaystyle E=s(s\otimes s)^{T}+n(s\otimes n)^{T}+n(n\otimes s)^{T}+s(n\otimes n)^{T} }$ med

$E(s\otimes s)=E(n\otimes n)=s$ och

$E(s\otimes n)=E(n\otimes s)=n.$

Exklusivt eller är negationen av ekvivalensen, ¬( p ≡ q ); den motsvarar matrisen $X=NE$ som ges av

$X=n(s\otimes s)^{T}+s(s\otimes n)^{T}+s(n\otimes s)^{T}+n(n\otimes n) ^{T},$

med $X(s\otimes s)=X(n\otimes n)=n$ och

$X(s\otimes n)=X(n\otimes s)=s.$

• NAND och NOR

Matriserna S och P motsvarar operationerna Sheffer (NAND) respektive Peirce (NOR):

$S=NC$

$P=ND$

Numeriska exempel

Här är numeriska exempel på några grundläggande logiska grindar implementerade som matriser för två olika uppsättningar av 2-dimensionella ortonormala vektorer för s och n .

Set 1 :

$$s={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad n={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix} }$$

I det här fallet är identitets- och negationsoperatorerna identitets- och antidiagonala identitetsmatriser:,

$$I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad N={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\ slut{bmatrix}}$$

och matriserna för konjunktion, disjunktion och implikation är

$$C={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&1&1\end{bmatrix}},\quad D={\begin{bmatrix}1&1&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&0&0\end{bmatrix}}$$

respektive.

Set 2 :

$$s={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix }}\quad n={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}$$

Här är identitetsoperatorn identitetsmatrisen, men negationsoperatorn är inte längre den antidiagonala identitetsmatrisen:

$$I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad N={\begin{bmatrix}1&0\\0& -1\end{bmatrix}}$$

De resulterande matriserna för konjunktion, disjunktion och implikation är:

$$C={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}2&0&0&0\\-1&1&1&1\end{bmatrix}},\quad D={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}2&0&0&0\\ 1&1&1&-1\end{bmatrix}},\quad L={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\1&1&-1&1\end{bmatrix}}$$

respektive.

De Morgans lag

I den tvåvärdiga logiken uppfyller konjunktions- och disjunktionsoperationerna De Morgans lag : p ∧ q ≡¬(¬ p ∨¬ q ), och dess dual: p ∨ q ≡¬(¬ p ∧¬ q )). För vektorlogiken med två värden är denna lag också verifierad:

${\displaystyle C(u\otimes v)=ND(Nu\otimes Nv)} ,$ där u och v är två logiska vektorer.

Kronecker-produkten innebär följande faktorisering:

$C(u\otimes v)=ND(N\otimes N)(u\otimes v).$

Sedan kan det bevisas att i den tvådimensionella vektorlogiken är De Morgans lag en lag som involverar operatörer, och inte bara en lag som rör operationer:

$C=ND(N\otimes N)$

kontrapositionens lag

I den klassiska propositionskalkylen bevisas motsatslagen p → q ≡ ¬ q → ¬ p eftersom ekvivalensen gäller för alla möjliga kombinationer av sanningsvärden av p och q . I stället, i vektorlogik, uppstår kontrapositionslagen ur en kedja av likheter inom reglerna för matrisalgebra och Kronecker-produkter, som visas i det följande:

$L(u\otimes v)=D( N\otimes I)(u\otimes v)=D(Nu\otimes v)=D(Nu\otimes NNv)=$

$D(NNv\otimes Nu)=D(N\otimes I)(Nv\otimes Nu)=L(Nv\otimes Nu)$

Detta resultat är baserat på det faktum att D , disjunktionsmatrisen, representerar en kommutativ operation.

Flervärdig tvådimensionell logik

Flervärdig logik har utvecklats av många forskare, särskilt av Jan Łukasiewicz och tillåter utvidgning av logiska operationer till sanningsvärden som inkluderar osäkerheter. I fallet med tvåvärdig vektorlogik kan osäkerheter i sanningsvärdena introduceras med hjälp av vektorer med s och n viktade med sannolikheter.

Låt $f=\epsilon s+\delta n$ , med $\epsilon ,\delta \in [0,1 ],\epsilon +\delta =1$ vara denna typ av "probabilistiska" vektorer. Här introduceras logikens mångvärda karaktär i efterhand via de osäkerheter som introduceras i ingångarna.

Skalära projektioner av vektorutgångar

Resultaten från denna logik med många värden kan projiceras på skalära funktioner och generera en speciell klass av probabilistisk logik med likheter med Reichenbachs många värden. Givet två vektorer $u=\alpha s+\beta n$ och $v=\alpha 's+\beta 'n$ och en dyadisk logik matris $G$ , en skalär probabilistisk logik tillhandahålls av projektionen över vektorn s :

$Val(\mathrm {scalars} )=s^{T}G(\mathrm {vektorer})$

Här är de viktigaste resultaten av dessa prognoser:

$NOT(\alpha )=s^{T}Nu=1-\alpha$

$OR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}D(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-\alpha \alpha '$

$AND(\alpha ,\alpha ')=s^{T}C(u\otimes v)=\ alpha \alpha '$

$IMPL(\alpha ,\alpha ')=s^{ T}L(u\otimes v)=1-\alpha (1-\alpha ')$

$XOR(\alpha ,\alpha ')=s^{T}X(u\otimes v)=\alpha +\alpha '-2\alpha \alpha '$

De associerade negationerna är:

$NOR(\alpha ,\alpha ')=1-OR(\alpha ,\alpha ')$

$NAND(\alpha ,\alpha ')=1-AND(\alpha ,\alpha ')$

$EQUI(\alpha ,\alpha ')=1-XOR(\alpha ,\alpha ')$

Om de skalära värdena tillhör mängden {0, ½, 1}, är denna skalära logik med många värden för många av operatorerna nästan identisk med den trevärdiga logiken i Łukasiewicz. Det har också bevisats att när de monadiska eller dyadiska operatorerna agerar över probabilistiska vektorer som hör till denna uppsättning, är utsignalen också en del av denna uppsättning.

Kvadratroten av NOT

Denna operator definierades ursprungligen för qubits inom ramen för kvantberäkning . I vektorlogik kan denna operator utökas för godtyckliga ortonormala sanningsvärden. Det finns faktiskt två kvadratrötter av NOT:

$A=({\sqrt {N}})_{1}={\frac {1}{ 2}}(1+i)I+{\frac {1}{2}}(1-i)N$ och

$B=({\sqrt {N}})_{2}={\frac {1}{2}}(1-i)I+{\frac {1}{2}}(1+ i)N$ ,

med $i={\sqrt {-1}}$ . $A$ och $B$ är komplexa konjugat: $B=A^{*}$ , och notera att $A^{2 }=B^{2}=N$ och $AB=BA=I$ . En annan intressant punkt är analogin med de två kvadratrötterna av -1. Den positiva roten $+({\sqrt {-1}})$ motsvarar $({\sqrt {N}})_{1}=IA$ , och den negativa roten $-({\sqrt {-1}})$ motsvarar $({\sqrt {N}})_{2 }=NA$ ; som en konsekvens, $NA=B$ .

Historia

Tidiga försök att använda linjär algebra för att representera logiska operationer kan hänvisas till Peirce och Copilowish , särskilt i användningen av logiska matriser för att tolka relationskalkylen .

Tillvägagångssättet har inspirerats av neurala nätverksmodeller baserade på användningen av högdimensionella matriser och vektorer. Vektorlogik är en direkt översättning till en matris-vektorformalism av de klassiska booleska polynomen . Denna typ av formalism har tillämpats för att utveckla en suddig logik i termer av komplexa tal . Andra matris- och vektormetoder för logisk kalkyl har utvecklats inom ramen för kvantfysik , datavetenskap och optik .

Den indiske biofysikern GN Ramachandran utvecklade en formalism som använde algebraiska matriser och vektorer för att representera många operationer av klassisk Jain-logik känd som Syad och Saptbhangi; se indisk logik . Det kräver oberoende bekräftande bevis för varje påstående i en proposition och gör inte antagandet om binär komplementering.

Booleska polynom

George Boole etablerade utvecklingen av logiska operationer som polynom. För fallet med monadiska operatorer (som identitet eller negation ) ser de booleska polynomen ut som följer:

$f(x)=f(1)x+f(0)(1-x)$

De fyra olika monadiska operationerna är resultatet av de olika binära värdena för koefficienterna. Identitetsoperation kräver f (1) = 1 och f (0) = 0, och negation sker om f (1) = 0 och f (0) = 1. För de 16 dyadiska operatorerna har de booleska polynomen formen:

$f(x,y)=f(1,1)xy+f(1,0)x(1-y)+f(0,1)(1-x)y+f( 0,0)(1-x)(1-y)$

De dyadiska operationerna kan översättas till detta polynomformat när koefficienterna f tar de värden som anges i respektive sanningstabell . Till exempel: NAND- operationen kräver att:

$f(1,1)=0$ och $f(1,0)=f( 0,1)=f(0,0)=1$ .

Dessa booleska polynom kan omedelbart utökas till valfritt antal variabler, vilket ger en stor potentiell variation av logiska operatorer. I vektorlogik är matris-vektorstrukturen för logiska operatorer en exakt översättning till formatet för linjär algebra för dessa booleska polynom, där x och 1− x motsvarar vektorerna s respektive n (samma för y och 1− y ). I exemplet med NAND, f (1,1)= n och f (1,0)= f (0,1)= f (0,0)= s och matrisversionen blir:

$S=n(s\otimes s)^{T}+ s[(s\otimes n)^{T}+(n\otimes s)^{T}+(n\otimes n)^{T}]$

Tillägg

• Vektorlogik kan utökas till att inkludera många sanningsvärden eftersom stordimensionella vektorrum tillåter skapandet av många ortogonala sanningsvärden och motsvarande logiska matriser.
• Logiska modaliteter kan representeras fullt ut i detta sammanhang, med rekursiv process inspirerad i neurala modeller .
• Vissa kognitiva problem kring logiska beräkningar kan analyseras med hjälp av denna formalism, särskilt rekursiva beslut. Alla logiska uttryck för klassisk propositionskalkyl kan naturligt representeras av en trädstruktur . Detta faktum behålls av vektorlogik och har delvis använts i neurala modeller fokuserade på undersökningen av naturliga språks grenade struktur.
• Beräkningen via reversibla operationer som Fredkin-porten kan implementeras i vektorlogik. En sådan implementering tillhandahåller explicita uttryck för matrisoperatorer som producerar inmatningsformatet och utdatafiltreringen som krävs för att erhålla beräkningar.
• Elementära cellulära automater kan analyseras med hjälp av vektorlogikens operatorstruktur; denna analys leder till en spektral nedbrytning av de lagar som styr dess dynamik.
• Utifrån denna formalism har dessutom en diskret differential- och integralkalkyl utvecklats.

Se även

• Algebraisk logik
• Boolesk algebra
• Propositionskalkyl
• Kvantlogik
• Jonathan Westphal