Van der Corput ojämlikhet

Inom matematik är van der Corput-ojämlikheten en följd av Cauchy-Schwarz-ojämlikheten som är användbar i studiet av korrelationer mellan vektorer, och därmed slumpvariabler . Det är också användbart vid studiet av ekvifördelade sekvenser , till exempel i Weyls ekvifördelningsuppskattning. Löst uttryckt hävdar van der Corput-olikheten att om en $u_{1},\dots ,u_{n}\in V$ v $\displaystyle v}$ i ett inre produktutrymme $V$ är starkt korrelerad med många enhetsvektorer , då måste många av paren $u_{i},u_{j}$ vara starkt korrelerade med varandra. Här görs begreppet korrelation exakt av den inre produkten av rymden $V$ : när det absoluta värdet av $\langle u,v\rangle$ är nära ${\ displaystyle 1}$ , då anses $u$ och ${\displaystyle v} vara starkt korrelerade.$ (Mer generellt, om de involverade vektorerna inte är enhetsvektorer, betyder stark korrelation att $|\langle u,v\rangle |\approx \|u\ |\|v\|$ .)

Uttalande av ojämlikheten

Låt $V$ vara ett verkligt eller komplext inre produktrum med inre produkt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ och inducerad norm $\|\cdot \ |$ . Antag att $v,u_{1},\dots ,u_{n}\in V$ och att $\|v\|= 1$ . Sedan

$\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}|\langle v,u_{i}\rangle |\right)^{2}\leq \sum _{i,j=1 }^{n}|\langle u_{i},u_{j}\rangle |.$

När det gäller korrelationsheuristiken som nämns ovan, om $v$ är starkt korrelerad med många enhetsvektorer $u_{1},\dots ,u_{n}\in V$ , då blir den vänstra sidan av olikheten stor, vilket då tvingar en betydande andel av vektorerna $u_{i}$ att vara starkt korrelerade med varandra.

Bevis på ojämlikheten

Vi börjar med att lägga märke till att för alla $i\in 1,\dots ,n$ finns det $\epsilon _{i}$ (verklig eller komplex) så att $|\epsilon _{i}|=1$ och $|\langle v,u_{i}\rangle |=\epsilon _{i}\langle v,u_{i}\rangle$ . Sedan,

$\left(\summa _{i=1}^{n}\left|\langle v,u_{i}\rangle \right| \right)^{2}$

$=\left(\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i} \langle v,u_{i}\rangle \right)^{2}$

${\displaystyle =\left(\left\langle v,\summa _{i=1}^{n}\epsilon _{i}u_{i}\right\rangle \right)^{2}} eftersom den inre produkten$ är bilinjär

$\leq \|v\|^{2}\left\|\sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}u_{i}\right\|^ {2}$ av Cauchy–Schwarz-olikheten

$=\|v\|^{2}\ left\langle \sum _{i=1}^{n}\epsilon _{i}u_{i},\sum _{j=1}^{n}\epsilon _{i}u_{j}\right \rangle$ enligt definitionen av den inducerade normen

$=\sum _{i,j=1}^{n}\epsilon _ {i}\epsilon _{j}\langle u_{i},u_{j}\rangle$ eftersom $v$ är en enhetsvektor och den inre produkten är bilinjär

$\leq \sum _{i,j=1}^{n}|\langle u_{i},u_{j}\rangle |$ sedan $|\epsilon _{i}|=1$ för alla $i$ .

externa länkar

• Ett blogginlägg av Terence Tao om korrelation transitivitet, inklusive van der Corput ojämlikhet [1]