Uppdelningssats

Inom det matematiska fältet av differentialgeometri finns det olika uppdelningssatser om när en pseudo-Riemann-gren kan ges som en metrisk produkt. Den mest kända är Cheeger-Gromolls delningsteorem för Riemannska grenrör, även om det också har forskats på delning av grenrör från Lorentz .

Cheeger och Gromolls Riemannska splittringssats

Varje anslutet Riemann-grenrör M har en underliggande metrisk rymdstruktur , och detta tillåter definitionen av en geodetisk linje som en karta c : ℝ → M så att avståndet från c ( s ) till c ( t ) är lika med | t − s | för godtyckliga s och t . Detta är att säga att begränsningen av c till vilket avgränsat intervall som helst är en kurva med minimal längd som förbinder dess ändpunkter.

1971 bevisade Jeff Cheeger och Detlef Gromoll att om ett geodesiskt komplett och sammankopplat Riemann-grenrör med icke-negativ Ricci-krökning innehåller någon geodetisk linje, måste det delas isometriskt som produkten av ett komplett Riemann-grenrör med ℝ . Beviset förenklades senare av Jost Eschenburg och Ernst Heintze. År 1936 Stefan Cohn-Vossen ursprungligen formulerat och bevisat satsen i fallet med tvådimensionella grenrör, och Victor Toponogov hade utökat Cohn-Vossens arbete till högre dimensioner, under det speciella villkoret av icke-negativ sektionskrökning .

Beviset kan sammanfattas på följande sätt. Tillståndet för en geodetisk linje gör att två Busemann-funktioner kan definieras. Dessa kan ses som en normaliserad Riemann-avståndsfunktion till linjens två ändpunkter. Från den grundläggande Laplacian jämförelsesatsen som tidigare bevisats av Eugenio Calabi , är dessa funktioner båda superharmoniska under Ricci-krökningsantagandet. Båda dessa funktioner kan vara negativa vid vissa punkter, men triangelolikheten antyder att deras summa är icke-negativ. Den starka maximiprincipen innebär att summan är identiskt noll och att varje Busemann-funktion i själva verket (svagt) är en harmonisk funktion . Weyls lemma antyder den oändliga differentierbarheten hos Busemann-funktionerna. Sedan kan beviset avslutas genom att använda Bochners formel för att konstruera parallella vektorfält , sätta upp de Rhams nedbrytningssats . Alternativt kan teorin om Riemannska nedsänkningar åberopas.

Som en konsekvens av deras splitting theorem kunde Cheeger och Gromoll bevisa att det universella locket för alla slutna grenrör av icke-negativ Ricci-krökning måste delas isometriskt som produkten av ett slutet grenrör med ett euklidiskt utrymme . Om universalhöljet är topologiskt sammandragbart , följer det att alla inblandade mått måste vara platta .

Lorentzians delningssats

1982 förmodade Shing-Tung Yau att en viss Lorentziansk version av Cheeger och Gromolls teorem borde hålla. Bevis i olika generella nivåer hittades av Jost Eschenburg, Gregory Galloway och Richard Newman. I dessa resultat ersätts rollen som geodetisk fullständighet med antingen villkoret global hyperbolicitet eller tidsliknande geodetisk fullständighet. Ricci-kurvaturens icke-negativitet ersätts av det tidsliknande konvergensvillkoret att Ricci-kurvaturen är icke-negativ i alla tidsliknande riktningar. Den geodetiska linjen måste vara tidsliknande.

Anteckningar.

Historiska artiklar.

•    Cheeger, Jeff ; Gromoll, Detlef (1971). "Den uppdelningssats för grenrör av icke-negativ Ricci-krökning" . Journal of Differential Geometry . 6 (1): 119–128. doi : 10.4310/jdg/1214430220 . MR 0303460 . Zbl 0223.53033 .
•    Cohn-Vossen, S. (1936). "Totalkrümmung und geodätische Linien auf einfachzusammenhängenden offenen vollständigen Flächenstücken" . Matematheskii Sbornik . 43 (2): 139–163. JFM 62.0862.01 . Zbl 0014.27601 .
•   Toponogov, VA (1964). Översatt av Robinson, A. "Riemannska utrymmen som innehåller raka linjer". American Mathematical Society Översättningar . Andra serien. 37 (Tjugotvå artiklar om algebra, talteori och differentialgeometri): 287–290. doi : 10.1090/trans2/037 . Zbl 0138.42902 .
•   Toponogov, VA (1968). Översatt av West, A. "Den metriska strukturen av Riemannska utrymmen med icke-negativ krökning som innehåller raka linjer". American Mathematical Society Översättningar . Andra serien. 70 (Trettioen inbjudna anföranden (åtta i abstrakt) vid International Congress of Mathematicians i Moskva, 1966): 225–239. doi : 10.1090/trans2/070 . Zbl 0187.43801 .
•    Yau, Shing Tung (1982). "Problemsektion". I Yau, Shing-Tung (red.). Seminarium om differentialgeometri . Annals of Mathematics Studies. Vol. 102. Princeton, NJ: Princeton University Press . s. 669–706. doi : 10.1515/9781400881918-035 . MR 0645762 . Zbl 0479.53001 . Omtryckt i Schoen & Yau (1994) .

Läroböcker.

•     Beem, John K.; Ehrlich, Paul E.; Easley, Kevin L. (1996). Global Lorentziansk geometri . Monografier och läroböcker i ren och tillämpad matematik. Vol. 202 (andra upplagan av 1981 års originalupplaga). New York: Marcel Dekker, Inc. doi : 10.1201/9780203753125 . ISBN 0-8247-9324-2 . MR 1384756 . Zbl 0846.53001 .
•     Besse, Arthur L. (1987). Einsteins grenrör . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3). Vol. 10. Återtryckt 2008. Berlin: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-3-540-74311-8 . ISBN 3-540-15279-2 . MR 0867684 . Zbl 0613.53001 .
•     Petersen, Peter (2016). Riemannsk geometri . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 171 (tredje upplagan av 1998 års originalupplaga). Springer, Cham . doi : 10.1007/978-3-319-26654-1 . ISBN 978-3-319-26652-7 . MR 3469435 . Zbl 1417.53001 .
•     Schoen, R .; Yau, S.-T. (1994). Föreläsningar om differentialgeometri . Konferenshandlingar och föreläsningsanteckningar i geometri och topologi. Vol. 1. Översatt av Ding, Wei Yue; Cheng, SY Cambridge, MA: International Press. ISBN 1-57146-012-8 . MR 1333601 . Zbl 0830.53001 .