Universell inbäddningsteorem

Den universella inbäddningssatsen , eller Krasner–Kaloujnines universella inbäddningssats , är en teorem från den matematiska disciplinen gruppteori som först publicerades 1951 av Marc Krasner och Lev Kaluznin . Teoremet säger att varje gruppförlängning av en grupp H med en grupp A är isomorf till en undergrupp av den vanliga kransprodukten A Wr H . Satsen är uppkallad efter det faktum att gruppen A Wr H sägs vara universell med avseende på alla förlängningar av H med A .

Påstående

Låt H och A vara grupper, låt K = A ^H vara mängden av alla funktioner från H till A , och betrakta H :s verkan på sig själv genom höger multiplikation. Denna åtgärd sträcker sig naturligt till en verkan av H på K definierad av $\phi (g).h=\phi (gh^{-1}),$ där $\phi \in K,$ och g och h är båda i H . Detta är en automorfism av K , så vi kan definiera den halvdirekta produkten K ⋊ H som $A\wr H.$ den vanliga kransprodukten och betecknas A Wr H eller Gruppen K = A ^H (som är isomorf till $\{(f_{x},1)\ i A\wr H:x\in K\}$ ) kallas kransproduktens basgrupp .

Krasner –Kaloujnines universella inbäddningssats säger att om G har en normal undergrupp A och H = G / A , så finns det en injektiv homomorfism av grupperna $\theta :G\to A\wr H$ så att A mappar surjektivt till ${\text{im}}(\theta )\cap K.$ Detta är ekvivalent med att kransprodukten A Wr H har en undergrupp isomorf till G , där G är vilken som helst förlängning av H med A .

Bevis

Detta bevis kommer från Dixon-Mortimer.

Definiera en homomorfism $\psi :G\to H$ vars kärna är A . Välj en uppsättning $T=\{t_{u}:u\in H\}$ av (höger) coset-representanter för A i G , där $\psi (t_{u})=u.$ Sedan för alla x i G , $t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}\in \ker \psi =A.}$ G displaystyle För varje x i definierar vi en funktion f _x : H → A så att ${\displaystyle f_{x}(u)=t_{u}xt_{u\psi (x)}^{-1}.} Sedan ges inbäddningen θ {\$ displaystyle $theta }$ av $\theta (x)=(f_{x},\psi (x))\in A\wr H.$

Vi bevisar nu att detta är en homomorfism. Om x och y $\theta (x)\theta (y)=(f_{x}(f_{y}.\psi (x)^{-1}),\psi (xy)).$ i G , då Nu $f_{y}(u).\psi (x)^{-1}=f_{y}(u\psi (x) ),$ så för alla er i H ,

$f_{x}(u)(f_{y}(u).\psi (x))=t_{u}xt_{u\psi (x )}^{-1}t_{u\psi (x)}yt_{u\psi (x)\psi (y)}^{-1}=t_{u}xyt_{u\psi (xy)}^ {-1},$

så   f _x f _y = f _xy . Därför är $\theta$ en homomorfism som krävs.

Homomorfismen är injektiv. Om $\theta (x)=\theta (y),$ då både f _x ( u ) = f _y ( u ) (för alla u ) och $\psi (x)=\psi (y).$ Sedan ${\displaystyle t_{u}xt_{ u\psi (x)}^{-1}=t_{u}yt_{u\psi (y)}^{-1},} men vi kan$ avbryta t _u och $t_{u\psi (x)}^{-1}=t_{u\psi (y)}^{-1}$ från båda sidor, så x = y , därav $\theta$ är injektiv. Slutligen, $\theta (x)\in K$ exakt när $\psi (x)=1,$ med andra ord när ${\ displaystyle x\in A}$ (som $A=\ker \psi$ ).

Generaliseringar och relaterade resultat

• Krohn –Rhodes-satsen är ett påstående som liknar den universella inbäddningssatsen, men för semigrupper . En semigrupp S är en divisor av en semigrupp T om det är bilden av en undersemigrupp av T under en homomorfism. Satsen säger att varje finit halvgrupp S är en divisor av en finit alternerande kransprodukt av finita enkla grupper (som var och en är en divisor av S ) och finita aperiodiska halvgrupper .
• Det finns en alternativ version av satsen som endast kräver en grupp G och en undergrupp A (inte nödvändigtvis normalt). I detta fall G isomorft till en undergrupp av den vanliga kransprodukten A Wr ( G /Core( A )).

Bibliografi

•   Dixon, John; Mortimer, Brian (1996). Permutationsgrupper . Springer. ISBN 978-0387945996 .
• Kaloujnine, Lev; Krasner, Marc (1951a). "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes II" . Acta Sci. Matematik. Szeged . 14 :39–66.
• Kaloujnine, Lev; Krasner, Marc (1951b). "Produit complet des groupes de permutations et le problème d'extension de groupes III" . Acta Sci. Matematik. Szeged . 14 : 69–82.
•   Praeger, Cheryl; Schneider, Csaba (2018). Permutationsgrupper och kartesiska sönderdelningar . Cambridge University Press. ISBN 978-0521675062 .