Tvillingcirklar

Tvillingcirklarna (röda) av en arbelos (grå)

I geometri är tvillingcirklarna två speciella cirklar som är förknippade med en arbelos . En arbelos bestäms av tre kolinjära punkter $A$ , $B$ och $C$ , och är det kurvlinjära triangulära området mellan de tre halvcirklarna som har $AB$ , $BC$ och $AC$ som diametrar. Om arbelos är uppdelad i två mindre områden av ett linjesegment genom mittpunkten av $A$ , $B$ , och $C$ , vinkelrät mot linjen $ABC$ , så ligger var och en av de två tvillingcirklarna inom en av dessa två regioner, tangent till dess två halvcirkelformade sidorna och till klyvningssegmentet.

Dessa cirklar dök först upp i Lemmas bok , som visade (påstående V) att de två cirklarna är kongruenta . Thābit ibn Qurra , som översatte denna bok till arabiska, tillskrev den till den grekiske matematikern Arkimedes . Baserat på detta påstående har tvillingcirklarna, och flera andra cirklar i Arbelos kongruenta med dem, också kallats Arkimedes cirklar . Denna tillskrivning har dock ifrågasatts av senare stipendier.

Konstruktion

Animation av tvillingcirklar för olika positioner av punkt B på AC-segmentet

Specifikt, låt $A$ , $B$ och $C$ vara de tre hörnen av arbelos, med $B$ mellan $A$ och ${\ displaystil C}$ . Låt $D$ vara den punkt där den större halvcirkeln skär linjen vinkelrät mot $AC$ genom punkten $B$ . Segmentet $BD$ delar arbelos i två delar. Tvillingcirklarna är de två cirklarna inskrivna i dessa delar, var och en tangent till en av de två mindre halvcirklarna, till segmentet $BD$ och till den största halvcirkeln.

Var och en av de två cirklarna bestäms unikt av sina tre tangenser. Att konstruera det är ett specialfall av Apollonius problem .

Alternativa tillvägagångssätt för att konstruera två cirklar kongruenta med tvillingcirklarna har också hittats. Dessa cirklar har också kallats arkimedeiska cirklar. De inkluderar Bankoff-cirklar , Schoch-cirklar och Woo-cirklar .

Egenskaper

Låt a och b vara diametrarna för två inre halvcirklar, så att den yttre halvcirkeln har diametern a + b . Diametern på varje tvillingcirkel är då

d={\frac {ab}{a+b}}.

Alternativt, om den yttre halvcirkeln har enhetsdiameter, och de inre cirklarna har diametrarna $s$ och $1-s$ , är diametern för varje tvillingcirkel

d=s(1-s).\,

Den minsta cirkeln som omsluter båda tvillingcirklarna har samma area som arbelos.

Se även

Schoch linje

^ Thomas Little Heath (1897), The Works of Archimedes . Cambridge University Press. Proposition 5 i Lemmas bok . Citat: " Låt AB vara diametern på en halvcirkel, C vilken punkt som helst på AB och CD vinkelrät mot den, och låt halvcirklar beskrivas inom den första halvcirkeln och ha AC, CB som diametrar. Sedan om två cirklar ritas vidrör CD på olika sidor och var och en vidrör två av halvcirklarna, cirklarna så ritade kommer att vara lika. "
^ Boas, Harold P. (2006). "Reflektioner över Arbelos" . American Mathematical Monthly . 113 (3): 241. doi : 10.1080/00029890.2006.11920301 . S2CID 14528513 . Källan för påståendet att Arkimedes studerade och namngav arbelosen är Lemmas bok , även känd som Liber assumptorum från titeln på den latinska översättningen från 800-talet av den arabiska översättningen från 800-talet av det förlorade grekiska originalet. Även om denna samling av femton propositioner ingår i standardutgåvor av Arkimedes verk, erkänner redaktörerna att författaren till Lemmas bok inte var Arkimedes utan snarare någon anonym senare kompilator, som verkligen hänvisar till Arkimedes i tredje person
^ ^a ^b ^c ^d Weisstein, Eric W. " "Archimedes cirklar." Från MathWorld—en Wolfram webbresurs" . Hämtad 2008-04-10 .
^ Floor van Lamoen (2014), En katalog med över femtio arkimediska cirklar . Onlinedokument, tillgängligt 2014-10-08.
^ Floor van Lamoen (2014), Circles (A61a) och (A61b): Dao-par . Onlinedokument, tillgängligt 2014-10-08.

[archBLprop5-1] Thomas Little Heath (1897), The Works of Archimedes . Cambridge University Press. Proposition 5 i Lemmas bok . Citat: " Låt AB vara diametern på en halvcirkel, C vilken punkt som helst på AB och CD vinkelrät mot den, och låt halvcirklar beskrivas inom den första halvcirkeln och ha AC, CB som diametrar. Sedan om två cirklar ritas vidrör CD på olika sidor och var och en vidrör två av halvcirklarna, cirklarna så ritade kommer att vara lika. "

[2] Boas, Harold P. (2006). "Reflektioner över Arbelos" . American Mathematical Monthly . 113 (3): 241. doi : 10.1080/00029890.2006.11920301 . S2CID 14528513 . Källan för påståendet att Arkimedes studerade och namngav arbelosen är Lemmas bok , även känd som Liber assumptorum från titeln på den latinska översättningen från 800-talet av den arabiska översättningen från 800-talet av det förlorade grekiska originalet. Även om denna samling av femton propositioner ingår i standardutgåvor av Arkimedes verk, erkänner redaktörerna att författaren till Lemmas bok inte var Arkimedes utan snarare någon anonym senare kompilator, som verkligen hänvisar till Arkimedes i tredje person

[wolframArbelos-3] Weisstein, Eric W. " "Archimedes cirklar." Från MathWorld—en Wolfram webbresurs" . Hämtad 2008-04-10 .

[lamoenCat-4] Floor van Lamoen (2014), En katalog med över femtio arkimediska cirklar . Onlinedokument, tillgängligt 2014-10-08.

[lamoenDao-5] Floor van Lamoen (2014), Circles (A61a) och (A61b): Dao-par . Onlinedokument, tillgängligt 2014-10-08.