Tvärspektrum

I tidsserieanalys används korsspektrumet som en del av en frekvensdomänanalys av korskorrelationen eller korskovariansen mellan två tidsserier.

Definition

Låt $(X_{t},Y_{t})$ representera ett par stokastiska processer som gemensamt är stationära vid avkänning med autokovariansfunktioner $}$${\displaystyle \gamma _{xx$ } och $\gamma _{yy}$ och korskovariansfunktionen γ $\displaystyle \gamma _{xy}}$ . Då definieras korsspektrumet ${\displaystyle \Gamma _{xy}} som$ Fouriertransformen av $\gamma _{xy}$

$\Gamma _{xy}(f)= {\mathcal {F}}\{\gamma _{xy}\}(f)=\summa _{\tau =-\infty }^{\infty }\,\gamma _{xy}(\tau )\ ,e^{-2\,\pi \,i\,\tau \,f},$

var

$\gamma _{xy}(\tau )=\operatörsnamn {E} [(x_{ t}-\mu _{x})(y_{t+\tau}-\mu _{y})]$ .

Tvärspektrumet har representationer som en sönderdelning till (i) dess reella del (samspektrum) och (ii) dess imaginära del (kvadraturspektrum)

$\Gamma _{xy}(f)=\Lambda _{xy}(f)-i\Psi _{ xy}(f),$

och (ii) i polära koordinater

$\Gamma _{xy}(f)=A_{xy}(f)\,e^{i\phi _{xy}(f)}.$

ges amplitudspektrumet ${\displaystyle A_{xy}} av$

$A_{xy}(f)=(\Lambda _{xy}(f)^{ 2}+\Psi _{xy}(f)^{2})^{\frac {1}{2}},$

och fasspektrumet $\Phi _{xy}$ ges av

${\begin{cases}\tan ^{-1}(\Psi _{xy}(f)/\Lambda _{xy}(f))&{\text {if }}\Psi _{xy}(f)\neq 0{\text{ och }}\Lambda _{xy}(f)\neq 0\\0&{\text{if }}\Psi _{xy }(f)=0{\text{ och }}\Lambda _{xy}(f)>0\\\pm \pi &{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{ \text{ och }}\Lambda _{xy}(f)<0\\\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)>0{\text{ och }}\Lambda _{xy}(f)=0\\-\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)<0{\text{ och }}\Lambda _{xy}(f) =0\\\end{case}}$

Kvadrat koherensspektrum

Det kvadratiska koherensspektrumet ges av

$\kappa _{xy}(f)={\frac {A_{xy}^{2}} {\Gamma _{xx}(f)\Gamma _{yy}(f)}},$

som uttrycker amplitudspektrat i dimensionslösa enheter.

Se även

• Korskorrelation
• Effektspektrum
• Skalad korrelation