Koherens (signalbehandling)

Vid signalbehandling är koherensen en statistik som kan användas för att undersöka sambandet mellan två signaler eller datamängder . Det används vanligtvis för att uppskatta kraftöverföringen mellan ingång och utgång i ett linjärt system . Om signalerna är ergodiska och systemfunktionen är linjär kan den användas för att uppskatta orsakssambandet mellan ingång och utgång. ^{[ citat behövs ]}

Definition och formulering

Koherensen (ibland kallad magnitud-kvadratkoherens ) mellan två signaler x(t) och y(t) är en verkligt värderad funktion som definieras som:

C_{xy}(f)={\frac {|G_{xy}(f)|^{2}}{G_{xx}(f) G_{yy}(f)}}

där G _xy (f) är den tvärspektrala tätheten mellan x och y, och G _xx (f) och G _yy (f) den autospektrala tätheten för x respektive y. Storleken på den spektrala tätheten betecknas som |G|. Givet begränsningarna noterade ovan (ergodicitet, linjäritet) uppskattar koherensfunktionen i vilken utsträckning y(t) kan förutsägas från x(t) av en optimal linjär minsta kvadratfunktion .

Koherensvärden kommer alltid att uppfylla $0\leq C_{xy}(f)\leq 1$ . För ett idealiskt linjärt system med konstant parameter med en enda ingång x(t) och en enda utgång y(t), kommer koherensen att vara lika med ett. För att se detta, betrakta ett linjärt system med ett impulssvar h(t) definierat som: $y(t)=h(t)*x(t)$ , där $*$ anger faltning . I Fourier- domänen blir denna ekvation $Y(f)=H(f)X(f)$ , där Y(f) är Fouriertransformen av y( t) och H(f) är den linjära systemöverföringsfunktionen . Eftersom, för ett idealiskt linjärt system: $G_{yy}=|H(f)|^{2}G_{xx}(f)$ och ${\ displaystyle G_{xy}=H(f)G_{xx}(f)}$ , och eftersom $G_{xx}(f)$ är verklig, gäller följande identitet,

C_{xy}(f)={\frac {|H(f)G_{xx}(f)|^{2}}{G_{xx}(f )G_{yy}(f)}}={\frac {|H(f)G_{xx}(f)|^{2}}{G_{xx}^{2}(f)|H(f) |^{2}}}={\frac {|G_{xx}(f)|^{2}}{G_{xx}^{2}(f)}}=1

.

I den fysiska världen realiseras emellertid sällan ett idealiskt linjärt system, brus är en inneboende komponent i systemmätning, och det är troligt att ett linjärt system med en enda ingång och en utgång är otillräckligt för att fånga hela systemdynamiken. I fall där de ideala linjära systemantagandena är otillräckliga, garanterar Cauchy–Schwarz-olikheten ett värde på $C_{xy}\leq 1$ .

Om C _xy är mindre än ett men större än noll är det en indikation på att antingen: brus kommer in i mätningarna, att den antagna funktionen för x(t) och y(t) inte är linjär eller att y(t) producerar utgång på grund av ingång x(t) såväl som andra ingångar. Om koherensen är lika med noll är det en indikation på att x(t) och y(t) är helt orelaterade, givet de ovan nämnda begränsningarna.

Koherensen hos ett linjärt system representerar därför den del av utsignaleffekten som alstras av ingången vid den frekvensen. Vi kan också se kvantiteten $1-C_{xy}$ som en uppskattning av bråkeffekten av utgången som inte bidrar med ingången vid en viss frekvens. Detta leder naturligt till definitionen av det koherenta utdataspektrumet:

G_{vv}=C_{xy}G_{yy}

$G_{vv}$ tillhandahåller en spektral kvantifiering av uteffekten som är okorrelerad med brus eller andra insignaler.

Exempel

Figur 1: Överensstämmelse mellan havsvattennivå (input) och grundvattenbrunnsnivå (output).

Figur 2: Barometertryck (svart), havsvattennivåer (röd) och grundvattenbrunnsnivå (blå) nära Lake Worth Beach, Florida , under orkanen Frances .

Här illustrerar vi beräkningen av koherens (betecknad som $\gamma ^{2}$ ) som visas i figur 1. Betrakta de två signalerna som visas i den nedre delen av figur 2. Det verkar finnas ett nära samband mellan havets ytvattennivåer och grundvattenbrunnens nivåer. Det är också tydligt att barometertrycket har en effekt på både havsvattennivåerna och grundvattennivåerna.

Figur 3 visar den autospektrala densiteten för havsvattennivån under en lång tidsperiod.

Figur 3: Autospektral täthet av havsvattennivån. Tidvattenkomponenterna är märkta.

Som väntat är det mesta av energin centrerad på de välkända tidvattenfrekvenserna . Likaså visas den autospektrala tätheten för grundvattenbrunnar i figur 4.

Figur 4: Autospektral täthet av grundvattenbrunnsnivå.

Det är tydligt att variationer i grundvattennivåerna har betydande kraft vid havets tidvattenfrekvenser. För att uppskatta i vilken utsträckning grundvattennivåerna påverkas av havsytans nivåer, beräknar vi koherensen mellan dem. Låt oss anta att det finns ett linjärt samband mellan havsytans höjd och grundvattennivåerna. Vi antar vidare att havsytans höjd styr grundvattennivåerna så att vi tar havsytans höjd som ingångsvariabel och grundvattenbrunnens höjd som utgående variabel.

Den beräknade koherensen (figur 1) indikerar att vid de flesta av de stora tidvattenfrekvenserna i havet är variationen i grundvattennivån på denna speciella plats över 90 % på grund av att havets tidvatten tvingas. Man måste dock vara försiktig med att tillskriva kausalitet. Om relationen ( överföringsfunktionen ) mellan ingången och utgången är olinjär , kan värdena på koherensen vara felaktiga. Ett annat vanligt misstag är att anta en kausal input/output-relation mellan observerade variabler, när den orsakande mekanismen i själva verket inte finns i systemmodellen. Det är till exempel tydligt att det atmosfäriska barometertrycket inducerar en variation i både havsvattennivåerna och grundvattennivåerna, men barometertrycket ingår inte i systemmodellen som en ingångsvariabel. Vi har också antagit att havsvattennivåerna driver eller styr grundvattennivåerna. I verkligheten är det en kombination av hydrologisk forcering från havsvattennivåerna och tidvattenpotentialen som driver både de observerade in- och utsignalerna. Dessutom kan brus som introduceras i mätprocessen eller av den spektrala signalbehandlingen bidra till eller korrumpera koherensen.

Utökning till icke-stationära signaler

Om signalerna är icke-stationära (och därför inte ergodiska ), kanske ovanstående formuleringar inte är lämpliga. För sådana signaler har konceptet koherens utvidgats genom att använda konceptet med tidsfrekvensfördelningar för att representera de tidsvarierande spektrala variationerna av icke-stationära signaler i stället för traditionella spektra. För mer information, se.

Tillämpning inom neural vetenskap

Koherens har visat sig vara en utmärkt applikation för att hitta dynamiska funktionella anslutningar i hjärnans nätverk. Studier visar att koherensen mellan olika hjärnregioner kan förändras under olika mentala eller perceptuella tillstånd. Hjärnans koherens under vilotillståndet kan påverkas av störningar och sjukdomar.

Se även