Hele-Shaw flow

Hele-Shaw-flöde definieras som Stokes-flöde mellan två parallella platta plattor åtskilda av ett oändligt litet gap, uppkallat efter Henry Selby Hele-Shaw, som studerade problemet 1898. Olika problem inom vätskemekanik kan approximeras till Hele-Shaw-flöden och Därför är forskningen om dessa flöden av betydelse. Approximation till Hele-Shaw-flödet är särskilt viktigt för mikroflöden. Detta beror på tillverkningstekniker, som skapar grunda plana konfigurationer, och det typiskt låga Reynolds-talet av mikroflöden.

Den styrande ekvationen för Hele-Shaw-flöden är identisk med den för det inviscida potentialflödet och med flödet av vätska genom ett poröst medium ( Darcys lag) . Den tillåter alltså visualisering av denna typ av flöde i två dimensioner.

Matematisk formulering av Hele-Shaw-flöden

En schematisk beskrivning av en Hele-Shaw-konfiguration.

Låt $x$ , $y$ vara riktningarna parallella med de platta plattorna, och $z$ den vinkelräta riktningen, där $H$ är gapet mellan plattorna (vid $z=0,H$ ). När gapet mellan plattorna är asymptotiskt litet

H\rightarrow 0,\,

hastighetsprofilen i $z$ -riktningen är parabolisk (dvs. är en kvadratisk funktion av koordinaten i denna riktning). Ekvationen som relaterar tryckgradienten till den horisontella hastigheten ${\mathbf {u} }=(u,v)$ är,

u=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}z( Hz)\,

v=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}z(Hz)\,

$p(x,y,t)$ är det lokala trycket, $\mu$ är vätskans viskositet. Medan hastighetsstorleken ${\sqrt {u^{2}+v^{2}}}$ varierar i $z$ -riktningen, är hastighetsvektorns riktning $\tan ^{-1}(v/u)$ är oberoende av $z$ -riktningen, det vill säga att strömlinjemönster på varje nivå är lika. Eliminering av tryck i ovanstående ekvation får man

\omega _{z}={\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y }}=0

där $\omega _{z}$ är virveln i $z$ -riktningen. Strömlinjemönstren motsvarar alltså potentiellt flöde (irrotationsflöde). Till skillnad från potentiellt flöde , här är cirkulationen $\Gamma$ runt valfri sluten kontur $C$ , oavsett om den omsluter ett fast föremål eller inte, noll,

\Gamma =\oint _{C} udx+vdy=-{\frac {1}{2\mu }}z(Hz)\oint _{C}{\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p} {\partial y}}dy=0

där den sista integralen sätts till noll eftersom $p$ är en funktion med ett värde och integrationen görs över en sluten kontur.

Den vertikala hastigheten är $w=0$ som framgår av kontinuitetsekvationen. Genom att integrera kontinuiteten över ${\displaystyle z} får vi den styrande ekvationen för Hele-Shaw-flöden,$ Laplace-ekvationen :

{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{ 2}p}{\partial y^{2}}}=0.

Denna ekvation kompletteras av gränsvillkoren för ingen penetration på sidoväggarna av geometrin,

{\mathbf {\nabla } }p\cdot {\hat {n}}=0,\,

där ${\hat {n}}$ är en enhetsvektor vinkelrät mot sidoväggen.

Hele-Shaw cell

Termen Hele-Shaw-cell används vanligtvis för fall där en vätska sprutas in i den grunda geometrin från ovan eller under geometrin, och när vätskan begränsas av en annan vätska eller gas. För sådana flöden definieras randvillkoren av tryck och ytspänningar.

Se även

En mekanisk transmissionskoppling uppfunnen av Prof. Hele-Shaw, med hjälp av principerna för ett Hele-Shaw-flöde