Tunn platta energi funktionell

Den exakta tunnplåtsenergifunktionella (TPEF) för en funktion $f(x,y)$ är

$\int _{y_{0}}^{y_{1}}\int _{x_{0}} ^{x_{1}}(\kappa _{1}^{2}+\kappa _{2}^{2}){\sqrt {g}}\,dx\,dy$

där $\kappa _{1}$ och $\kappa _{2}$ är de huvudsakliga krökningarna för ytavbildningen $f$ i punkten $(x,y).$ Detta är ytintegralen av $\kappa _{1}^{2}+\kappa _{2}^{2},$ därav ${\sqrt {g}}$ i integranden.

Att minimera den exakta tunnplåtsenergifunktionen skulle resultera i ett system av icke-linjära ekvationer. Så i praktiken används ofta en approximation som resulterar i linjära ekvationssystem. Approximationen härleds genom att anta att gradienten för $f$ är 0. Vid varje punkt där $f_{x}=f_{y}=0,$ den första grundformen $g_{ij}$ av ytmappningen $f$ är identitetsmatrisen och den andra grundformen $b_{ij}$ är

${\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\f_{xy}&f_{yy}\end{pmatrix}}$ .

Vi kan använda formeln för medelkurvatur $H=b_{ij}g^{ij}/2$ för att bestämma att $H=(f_{xx}+f_{yy})/2$ och formeln för Gaussisk krökning $K=b/g$ (där $b$ och $g$ är determinanterna för den andra respektive första grundformen) för att bestämma att $K=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}.$ Eftersom $H=(k_{1}+k_ {2})/2$ och $K=k_{1}k_{2},$ integranden för den exakta TPEF är lika med $4H^{2}-2K.$ De uttryck vi just beräknade för medelkurvaturen och Gaussisk krökning som funktioner av partiella derivator av $f$ visar att integranden för den exakta TPEF är

$4H^{2}-2K=(f_{xx}+f_{yy})^{2}-2(f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2})=f_{ xx}^{2}+2f_{xy}^{2}+f_{yy}^{2}.$

Så den ungefärliga tunnplåtsenergin är funktionell

$J[f]=\int _{y_{0}}^{y_{1}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}f_{xx}^{2}+2f_ {xy}^{2}+f_{yy}^{2}\,dx\,dy.$

Rotationsinvarians

Roterar (x,y) med theta runt z-axeln till (X,Y)

Originalyta med punkt (x,y)

Roterad yta med roterad punkt (X,Y)

TPEF är rotationsinvariant. Detta betyder att om alla punkter på ytan $z(x,y)$ roteras med en vinkel $\theta$ kring $z$ -axeln, TPEF vid varje punkt $(x, y)$ på ytan är lika med TPEF för den roterade ytan vid den roterade $(x,y).$ Formeln för en rotation med en vinkel $\theta$ kring $z$ -axeln är

${\binom {X}{Y}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\binom {x}{y}}=R{\binom {x}{y}}.$

 

 

 

 

()

Det faktum att $z$ -värdet för ytan vid $(x,y)$ är lika med $z$ -värdet för den roterade ytan vid den roterade $(x,y)$ uttrycks matematiskt av ekvationen

$Z(X,Y)=z(x,y)=(z\circ xy)(X ,Y)$

där $xy$ är den omvända rotationen, det vill säga $xy(X,Y)=R^{-1}(X,Y)^{\text{T}}=R^{\text{T}}(X,Y)^{\text{T }}.$ Så $Z=z\circ xy$ och kedjeregeln innebär

$Z_{i}=z_{j}R_{ij}.$

 

 

 

 

()

I ekvation ( 2 ), betyder $Z_{0}$$Z_{X},$$Z_{1}$ betyder $Z_{Y},$$z_{0}$ betyder $z_{x},$ och $z_{1}$ betyder $z_{y}.$ Ekvation ( 2 ) och alla efterföljande ekvationer i det här avsnittet använder icke-tensor summationskonvention, det vill säga summor tas över upprepade index i en term även om båda indexen är nedsänkta. Kedjeregeln behövs också för att differentiera ekvation ( 2 ) eftersom $z_{j}$ faktiskt är sammansättningen $z_{j}\circ xy:$

$Z_{ik}=z_{jl}R_{kl}R_{ij}$ .

Byte av indexnamnen $j$ och $k$ ger

$Z_{ij}=z_{kl}R_{jl}R_{ik}.$

 

 

 

 

()

Expandera summan för varje par $i,j$ ger

${\begin{array}{lcl}Z_{XX}&=&R_{00}^{2}z_{xx}+2R_{00}R_{01}z_{xy}+R_{01}^{ 2}z_{yy},\\Z_{XY}&=&R_{00}R_{10}z_{xx}+(R_{00}R_{11}+R_{01}R_{10})z_{xy }+R_{01}R_{11}z_{yy},\\Z_{YY}&=&R_{10}^{2}z_{xx}+2R_{10}R_{11}z_{xy}+R_ {11}^{2}z_{yy}.\end{array}}$

Beräknar TPEF för de roterade ytutbytena

${\begin{aligned}Z_{XX}^{2}+2Z_{XY}^{2}+Z_{YY}^{2}&=(R_{11}^{2}+R_{01 }^{2})z_{yy}^{2}\\&+2(R_{10}R_{11}+R_{00}R_{01})^{2}z_{xx}z_{yy} \\&+2(2R_{10}^{2}R_{11}^{2}+R_{00}^{2}R_{11}^{2}+2R_{00}R_{01}R_{ 10}R_{11}\\&\qquad +R_{01}^{2}R_{10}^{2}+2R_{00}^{2}R_{01}^{2})z_{xy} ^{2}\\&+4(R_{10}R_{11}+R_{00}R_{01})(R_{11}^{2}+R_{01}^{2})z_{xy }z_{yy}\\&+4(R_{10}^{2}+R_{00}^{2})(R_{10}R_{11}+R_{00}R_{01})z_{ xx}z_{xy}\\&+(R_{10}^{2}+R_{00}^{2})z_{xx}^{2}.\\\end{aligned}}$

 

 

 

 

()

Att infoga koefficienterna för rotationsmatrisen $R$ från ekvation ( 1 ) i den högra sidan av ekvation ( 4 ) förenklar den till $z_{xx}^{2}+2z_{xy}^{2}+z_{yy}^{2}.$

Dataanpassning

Den ungefärliga energifunktionen för tunnplåt kan användas för att anpassa B-spline -ytor till spridda 1D-data på ett 2D-rutnät (till exempel digital terrängmodelldata). Kalla rutnätspunkterna $(x_{i},y_{i})$ för $i=1\dots N$ (med $x_{i}\in [a,b]$ och $y_{i}\in [c,d]$ ) och datavärdena $z_{i}.$ För att anpassa en enhetlig B-spline $f(x,y)$ till data, måste ekvationen

${\ displaystyle \sum _{i=1}^{N}(f(x_{i},y_{i})-z_{i})^{2}+\lambda \int _{c}^{d}\ int _{a}^{b}(f_{xx}^{2}+2f_{xy}^{2}+f_{yy}^{2})\,dx\,dy}$

 

 

 

 

()

(där $\lambda$ är "utjämningsparametern") minimeras. Större värden på $\lambda$ resulterar i en jämnare yta och mindre värden resulterar i en mer exakt anpassning till data. Följande bilder illustrerar resultaten av att anpassa en B-spline yta till vissa terrängdata med denna metod.

• 

  Original terrängdata

• 

  Utrustad B-spline yta med stor lambda och mer utjämning

• 

  Utrustad B-spline yta med mindre lambda och mindre utjämning

Den tunna plattans utjämningsspline minimerar också ekvationen ( 5 ), men den är mycket dyrare att beräkna än en B-spline och inte lika jämn (den är bara $C^{1}$ i "centrum" och har obegränsade andraderivator där).