Tryckkoefficient

I vätskedynamik är tryckkoefficienten ett dimensionslöst tal som beskriver de relativa trycken genom ett flödesfält . Tryckkoefficienten används inom aerodynamik och hydrodynamik . Varje punkt i ett vätskeflödesfält har sin egen unika tryckkoefficient, $C p$ .

I många situationer inom aerodynamik och hydrodynamik är tryckkoefficienten vid en punkt nära en kropp oberoende av kroppsstorlek. Följaktligen kan en ingenjörsmodell testas i en vindtunnel eller vattentunnel , tryckkoefficienter kan bestämmas på kritiska platser runt modellen, och dessa tryckkoefficienter kan användas med tillförsikt för att förutsäga vätsketrycket vid dessa kritiska platser runt en full- storlek flygplan eller båt.

Definition

Tryckkoefficienten är en parameter för att studera både inkompressibla/kompressibla vätskor som vatten och luft. Förhållandet mellan den dimensionslösa koefficienten och dimensionstalen är

C_{p}={p-p_{\infty } \over {\frac {1}{2} }\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}={p-p_{\infty } \over p_{0}-p_{\infty }}

var:

p

är det statiska trycket vid den punkt där tryckkoefficienten utvärderas

p_{\infty }

är det statiska trycket i friströmmen (dvs. på avstånd från eventuella störningar)

p_ {0}

är stagnationstrycket i friströmmen (dvs. på avstånd från eventuella störningar)

\rho _{\infty }

är friströmsvätskedensiteten ( luft vid havsnivå och 15 °C är

{\rm {kg/m^{3}}}

)

V_{\infty }

är vätskans friströmshastighet, eller kroppens hastighet genom vätskan

Okomprimerbart flöde

Med hjälp av Bernoullis ekvation kan tryckkoefficienten ytterligare förenklas för potentiella flöden (inviscid och stadig):

C_{p}|_{Ma\,\approx \,0}={1-{\bigg (}{\frac {u}{u_{\ infty }}}{\bigg )}^{2}}

där $u$ är flödeshastigheten vid den punkt där tryckkoefficienten utvärderas, och $Ma$ är Mach-talet : flödeshastigheten är försumbar i jämförelse med ljudets hastighet . För ett fall av en inkompressibel men viskös vätska, representerar detta profiltryckkoefficienten, eftersom den är associerad med tryckets hydrodynamiska krafter snarare än de viskösa.

Detta förhållande gäller för flödet av inkompressibla vätskor där variationer i hastighet och tryck är tillräckligt små för att variationer i vätskedensitet kan försummas. Detta är ett rimligt antagande när Mach-talet är mindre än cirka 0,3.

$C_{p}$ av noll indikerar att trycket är detsamma som det fria flödestrycket.
$C_{p}$ av en motsvarar stagnationstrycket och indikerar en stagnationspunkt .
de mest negativa värdena för $C_{p}$ i ett vätskeflöde kan summeras till kavitationsnumret för att ge kavitationsmarginalen. Om denna marginal är positiv är flödet lokalt helt flytande, medan om det är noll eller negativt är flödet kaviterande eller gas.

$C_{p}$ på minus ett är betydelsefullt i designen av glidflygplan eftersom detta indikerar en perfekt plats för en "Total energy"-port för tillförsel av signaltryck till Variometern, en speciell vertikal hastighetsindikator som reagerar på vertikala rörelser av atmosfären men reagerar inte på vertikal manövrering av segelflygplanet.

I vätskeflödesfältet runt en kropp kommer det att finnas punkter med positiva tryckkoefficienter upp till en, och negativa tryckkoefficienter inklusive koefficienter mindre än minus en, men ingenstans kommer koefficienten att överstiga plus ett eftersom det högsta trycket som kan uppnås är stagnationen tryck .

Kompressibelt flöde

I flödet av komprimerbara vätskor såsom luft, och särskilt höghastighetsflödet av komprimerbara vätskor, är ${\rho v^{2}}/2$ (det dynamiska trycket ) inte längre en noggrant mått på skillnaden mellan stagnationstryck och statiskt tryck . Det välbekanta förhållandet att stagnationstryck är lika med totalt tryck stämmer inte alltid. (Det är alltid sant i isentropiskt flöde men närvaron av stötvågor kan göra att flödet avviker från isentropiskt.) Som ett resultat kan tryckkoefficienterna vara större än en i komprimerbart flöde.

$C_{p}$ större än ett indikerar att friströmsflödet är komprimerbart.

Perturbationsteori

Tryckkoefficienten $C_{p}$ kan uppskattas för irrotations- och isentropiskt flöde genom att introducera potentialen $\Phi$ och störningspotentialen $\phi$ , normaliserade av den fria strömmen hastighet $u_{\infty }$

\Phi =u_{\infty }x+\phi (x,y,z)

Med hjälp av Bernoullis ekvation ,

{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \ nabla \Phi }{2}}+{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{konstant}}

som kan skrivas om som

{\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {a^{2}}{\gamma -1}}={\text{konstant}}

där $a$ är ljudhastigheten.

Tryckkoefficienten blir

{\begin{aligned}C_{p}&={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\ gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {a}{a_{ \infty }}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\ vänster[\left({\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}({\frac {u_{\infty }^{2}}{2}}-\Phi _{ t}-{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}})+1\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\ &\approx {\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1-{\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}(\ phi _{t}+u_{\infty }\phi _{x})\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx -{\frac {2\phi _{t}}{u_{\infty }^{2}}}-{\frac {2\phi _{x}}{u_{\infty }}}\end{aligned}}

där $a_{\infty }$ är fjärrfältets ljudhastighet.

Lokal kolvteori

Den klassiska kolvteorin är ett kraftfullt aerodynamiskt verktyg. Från användningen av momentumekvationen och antagandet om isentropiska störningar får man följande grundläggande kolvteoretiska formel för yttrycket:

p=p_{\infty }\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}

där $w$ är nedspolningshastigheten och $a$ är ljudhastigheten.

C_{p}={\frac {p -p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left [\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1 \höger]

Ytan definieras som

F(x,y,z,t)=zf(x,y,t)=0

Slirhastighetens gränsvillkor leder till

{\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}(u_{\infty }+\phi _{x},\phi _{y},\phi _{z})=V_{ \text{vägg}}\cdot {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}=-{\frac {\partial F}{\partial t}}{\frac {1}{|\nabla F|}}

Nedspolningshastigheten $w$ är ungefärlig som

w={\frac {\partial f}{\partial t}}+u_{\infty }{\frac {\partial f}{\partial x }}

Tryckfördelning

En bäryta vid en given anfallsvinkel kommer att ha vad som kallas tryckfördelning. Denna tryckfördelning är helt enkelt trycket vid alla punkter runt en bäryta. Vanligtvis ritas grafer över dessa fördelningar så att negativa tal är högre på grafen, eftersom $C_{p}$ för den övre ytan av bärytan vanligtvis kommer att vara längre under noll och därför kommer att vara den översta linjen på grafen.

Samband med aerodynamiska koefficienter

Alla de tre aerodynamiska koefficienterna är integraler av tryckkoefficientkurvan längs kordan. Lyftkoefficienten för en tvådimensionell vingprofilsektion med strikt horisontella ytor kan beräknas från tryckfördelningskoefficienten genom integration, eller beräkning av arean mellan linjerna på fördelningen . Detta uttryck är inte lämpligt för direkt numerisk integration med panelmetoden för lyftapproximation, eftersom det inte tar hänsyn till riktningen för tryckinducerad lyft. Denna ekvation gäller endast för noll anfallsvinkel.

C_{l}={\frac {1}{ x_{TE}-x_{LE}}}\int \limits _{x_{LE}}^{x_{TE}}\left(C_{p_{l}}(x)-C_{p_{u}} (x)\right)dx

var:

C_{p_{l}}

är tryckkoefficienten på den nedre ytan

C_{p_{u}}

är tryckkoefficienten på den övre ytan

x_{ LE}

är framkantsplatsen

x_{TE}

är bakkantsplatsen

När den nedre ytan $C_{p}$ är högre (mer negativ) på fördelningen räknas den som en negativ yta eftersom detta kommer att producera nedåtkraft snarare än lyft.

Se även

Abbott, IH och Von Doenhoff, AE (1959) Theory of Wing Sections , Dover Publications, Inc. New York, Standard Book No. 486-60586-8
Anderson, John D (2001) Fundamentals of Aerodynamic 3rd Edition , McGraw-Hill. ISBN 0-07-237335-0