Treynor-svart modell

Inom Finance är Treynor –Black-modellen en matematisk modell för val av värdepapper publicerad av Fischer Black och Jack Treynor 1973. Modellen utgår från en investerare som anser att de flesta värdepapper prissätts effektivt , men som tror att de har information som kan användas för att förutsäga onormal prestanda ( Alfa ) hos några av dem; modellen hittar den optimala portföljen att hålla under sådana förhållanden.

I huvudsak består den optimala portföljen av två delar: en passivt placerad indexfond som innehåller alla värdepapper i proportion till deras marknadsvärde och en "aktiv portfölj" som innehåller de värdepapper för vilka investeraren har gjort en förutsägelse om alfa. I den aktiva portföljen är vikten av varje aktie proportionell mot alfavärdet dividerat med variansen av den kvarvarande risken.

Modellen

Antag att den riskfria räntan är RF _\ och den förväntade marknadsavkastningen är RM _med standardavvikelse $displaystyle \sigma _{M}}$ . Det finns N värdepapper som har analyserats och tros vara felaktigt prissatta, med förväntad avkastning ges av:

${\displaystyle r_{i}=R_{F}+\beta _{i}(R_{M}-R_$

där de slumpmässiga termerna $\epsilon _{i}$ är normalfördelade med medelvärde 0, standardavvikelsen ${\displaystyle \sigma _{i}} ,$ och är inbördes okorrelerade. (Detta är den så kallade Diagonal Model of Stock Returns, eller Single-index modellen på grund av William F. Sharpe ).

Sedan visade Treynor och Black att den aktiva portföljen A är konstruerad med hjälp av vikterna

$w_{i}={\frac {\alpha _{i}/\sigma _{i}^{2}} {\sum _{j=1}^{N}\alpha _{j}/\sigma _{j}^{2}}}$

(Observera att om en alfa är negativ kommer motsvarande portföljvikt också att vara negativ, dvs den aktiva portföljen är i allmänhet en lång-kort portfölj).

Alfa-, beta- och kvarvarande risk för den konstruerade aktiva portföljen hittas med hjälp av de tidigare beräknade vikterna w _i :

$\alpha _{A}=\summa w_{i}\alpha _{i}$

$\beta _{A}=\ summa w_{i}\beta _{i}$

$\sigma _{A}^{2}=\summa w_{i}^{2}\sigma _ {i}^{2}$

Den totala riskfyllda portföljen för investeraren består av en bråkdel w _A investerad i den aktiva portföljen och återstoden investerad i marknadsportföljen. Denna aktiva fraktion hittas enligt följande:

$w_{0}={\frac {\alpha _{A}/\sigma _{A}^{2}}{ (R_{M}-R_{F})/\sigma _{M}^{2}}}$

Och korrigerat för betaexponeringen för den aktiva portföljen:

$w_{A}={\frac {w_{0}}{1+(1-\beta _{A})w_{0}}}$

$w_{M}=1-w_{A}$

Modellen är inte avgränsad 0 ≤ w _A ≤ 1 och 0 ≤ w _M ≤ 1, dvs korta positioner i marknadsportföljen eller aktiva portföljen kan initieras för att utnyttja en position i den andra portföljen. Detta ses ofta som modellens stora brist, eftersom det ofta ger en orealistisk vikt i den aktiva portföljen. Att införa nedre och övre gränser för w _A är en åtgärd för att motverka detta.

•   Treynor, JL och F. Black, 1973, How to Use Security Analysis to Improve Portfolio Selection, Journal of Business, januari, sidorna 66–88. JSTOR 2351280
• Kane, Kim och White: Active Portfolio Management - The Power of the Treynor-Black-modell, december 2003, [1]