Transversal Mercator: Redfearn-serien

Artikeln Transversal Mercator-projektion begränsar sig till allmänna egenskaper hos projektionen. Denna artikel beskriver i detalj en av de (två) implementeringarna som utvecklades av Louis Krüger 1912; som uttrycks som en potensserie i longitudskillnaden från den centrala meridianen. Dessa serier räknades om av Lee 1946, av Redfearn 1948 och av Thomas 1952. De kallas ofta för Redfearn-serien, eller Thomas-serien. Denna implementering är av stor betydelse eftersom den används i stor utsträckning i USA:s State Plane Coordinate System, i nationella (Storbritannien, Irland och många andra) och även internationella kartsystem, inklusive Universal Transverse Mercator-koordinatsystemet ( UTM ). De är också inkorporerade i Geotrans-koordinatomvandlaren som gjorts tillgänglig av United States National Geospatial-Intelligence Agency. När den paras ihop med ett lämpligt geodetiskt datum ger serien hög noggrannhet i zoner mindre än några få grader i öst-västlig utsträckning.

Preliminärer I: datum och ellipsoidparametrar

Serien måste användas med ett geodetiskt datum som anger position, orientering och form för en referensellipsoid . Även om projektionsformlerna endast beror på formparametrarna för referensellipsoiden är hela uppsättningen referensparametrar nödvändig för att länka projektionskoordinaterna till sanna positioner i tredimensionellt rymden. De datum och referensellipsoider som är associerade med speciella implementeringar av Redfearns formler listas nedan . En omfattande lista över viktiga ellipsoider ges i artikeln om Jordens figur .

Vid specificering av ellipsoider är det normalt att ge halvhuvudaxeln (ekvatorialaxeln), $a$ , tillsammans med antingen den inversa utplattaingen , $1/f$ , eller halvmollaxeln ( polär axel), $b$ , eller ibland båda. Serien som presenteras nedan använder excentriciteten, $e$ , i stället för tillplattning, $f$ . Dessutom använder de parametrarna $n$ , kallad den tredje förplattaingen , och $e'$ , den andra excentriciteten . Det finns bara två oberoende formparametrar och det finns många relationer mellan dem: i synnerhet

${\begin{aligned}f&={\frac {ab}{a}},\qquad e^{2}=2f-f^{2},\qquad e'^{2}={\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\\b&=a(1-f)=a(1-e^{2})^{1/2},\qquad n={ \frac {ab}{a+b}}.\end{aligned}}$

Projektionsformlerna inbegriper också $\rho (\phi )$ , krökningsradien för meridianen (vid latitud $\phi$ ), och $\nu ( \phi )$ , krökningsradien i den primära vertikalen . (Den primära vertikalen är det vertikala planet som är ortogonalt mot meridianplanet vid en punkt på ellipsoiden). Krökningsradier definieras enligt följande:

$\nu (\phi )={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}},\qquad \rho (\phi )={\ frac {\nu ^{3}(1-e^{2})}{a^{2}}}.$

definieras funktionerna $\beta (\phi )$ och ${\displaystyle \eta (\phi )} som:$

$\beta (\phi )={\frac {\nu (\phi )}{\rho (\phi )}},\qquad \eta ^{2}=\beta -1={e'^{ 2}\cos ^{2}\!\phi }.$

För kompakthet är det normalt att införa följande förkortningar:

$s=\sin \phi ,\qquad c=\cos \phi ,\qquad t=\tan \phi .$

Förberedelser II: meridiandistans

Meridianavstånd

Artikeln om meridianbåge beskriver flera metoder för att beräkna ${\displaystyle m(\phi )} ,$ meridianavståndet från ekvatorn till en punkt på latitud $\phi$ : uttrycken nedan är de som används i den faktiska implementeringen av Transverse Mercator-projektionen av OSGB. Trunkeringsfelet är mindre än 0,1 mm så serien är säkerligen korrekt till inom 1 mm, designtoleransen för OSGB-implementeringen.

${\begin{aligned}m(\phi )&=B_{0 }\phi +B_{2}\sin 2\phi +B_{4}\sin 4\phi +B_{6}\sin 6\phi +\cdots ,\end{aligned}}$

där koefficienterna ges till ordning $n^{3}$ (ordning $e^{6}$ ) av

${\begin{aligned}B_{0}&=b{\bigg (}1+n+{\frac {5}{4}}n^{2}+{\frac {5}{4}} n^{3}{\bigg )},\qquad B_{4}=b{\bigg (}{\frac {15}{16}}n^{2}+{\frac {15}{16}} n^{3}{\bigg )},\\B_{2}&=-b{\bigg (}{\frac {3}{2}}n+{\frac {3}{2}}n^{ 2}+{\frac {21}{16}}n^{3}{\bigg )},\qquad B_{6}=-b{\bigg (}{\frac {35}{48}}n^ {3}{\bigg )}.\end{aligned}}$

Meridianavståndet från ekvator till pol är

$m_{p}=m(\pi /2)=\pi B_{0}/2\,.$

Formen på serien som specificeras för UTM är en variant av ovanstående som uppvisar termer av högre ordning med ett trunkeringsfel på 0,03 mm.

Omvänt meridianavstånd

Varken OSGB- eller UTM-implementeringarna definierar en omvänd serie för meridianavståndet; istället använder de ett iterativt schema. För ett givet meridianavstånd $M$ sätt först $\phi _{0}=M/B_{0}$ och iterera sedan med

${\begin{aligned}\phi _{n}=\phi _{n- 1}+{\frac {Mm(\phi _{n-1})}{B_{0}}},\qquad n=1,2,3,\ldots \end{aligned}}$

tills $|Mm(\phi _{n-1})|<0,01$ mm.

Inversionen kan utföras av en serie som presenteras här för senare referens. För ett givet meridianavstånd, $M$ , definiera den likriktande latituden med

$\mu ={\frac {\pi M}{2m_{p}}}.$

Den geodetiska latituden som motsvarar $M$ är (Snyder sida 17):

${\begin{aligned}\phi &=\mu + D_{2}\sin 2\mu +D_{4}\sin 4\mu +D_{6}\sin 6\mu +D_{8}\sin 8\mu +\cdots ,\\\end{aligned} }$

där, till $O(n^{4})$ ,

${\begin{aligned}D_{2}&={\frac {3}{2}}n-{\frac {27}{32}}n^{3},&D_{4}&={ \frac {21}{16}}n^{2}-{\frac {55}{32}}n^{4},\\[8pt]D_{6}&={\frac {151}{96 }}n^{3},&D_{8}&={\frac {1097}{512}}n^{4}.\end{aligned}}$

En översikt över metoden

Den normala aspekten av Mercator-projektionen av en sfär med radien $R$ beskrivs av ekvationerna

$x=R\lambda ,\qquad \qquad y=R\psi ,$

där $\psi$ , den isometriska latituden , ges av

${\begin{aligned}\psi &=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\ höger].\end{aligned}}$

På ellipsoiden blir den isometriska latituden

${\begin{aligned}\psi &=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\ höger]-{\frac {e}{2}}\ln \left[{\frac {1+e\sin \phi }{1-e\sin \phi }}\right].\end{aligned}}$

Genom konstruktion är projektionen från de geodetiska koordinaterna ( $\phi$ , $\lambda$ ) till koordinaterna ( ${\displaystyle \psi } ,$ λ $\displaystyle \lambda } )$ konform. Om koordinaterna ( $\psi$ , $\lambda$ ) används för att definiera en punkt $\zeta =\psi +i\lambda$ i det komplexa planet, då kommer valfri analytisk funktion $f(\zeta )$ att definiera en annan konform projektion. Krugers metod går ut på att söka den specifika $f(\zeta )$ som genererar en enhetlig skala längs den centrala meridianen, $\lambda =0$ . Han uppnådde detta genom att undersöka en Taylor-serie approximation med projektionskoordinaterna som ges av:

${\begin{ aligned}y+ix&=f(\zeta )=f(\psi +i\lambda )\\&=f(\psi +i.0)+A_{1}\lambda +A_{2}\lambda ^{ 2}+A_{3}\lambda ^{3}+\ldots ,\end{aligned}}$

där den reella delen av $f(\psi +i.0)$ måste vara proportionell mot meridianavståndsfunktionen $m(\phi )$ . De (komplexa) koefficienterna $A_{n}$ beror på derivator av $f(\zeta )$ som kan reduceras till derivator av $m(\phi )$ med avseende på $\psi$ , (inte ${\displaystyle \phi } )$ . Derivaterna är i princip enkla att utvärdera men uttrycken blir mycket involverade i höga ordningsföljder på grund av det komplicerade sambandet mellan $\psi$ och $\phi$ . Separation av reella och imaginära delar ger serien för $x$ och $y$ och ytterligare derivator ger skalan och konvergensfaktorerna.

Serien i detalj

Detta avsnitt presenterar den åttonde ordningens serie som publicerats av Redfearn (men med $x$ och $y$ utbytta och longitudskillnaden från den centrala meridianen betecknad med $\lambda$ istället för ${\ displaystyle \omega }$ ). Motsvarande åttonde ordningens serier, med olika beteckningar, finns i Snyder (sidorna 60–64) och på många webbplatser som till exempel den för Ordnance Survey of Great Britain.

De direkta serierna utvecklas i termer av longitudskillnaden från den centrala meridianen, uttryckt i radianer: de inversa serierna utvecklas i termer av förhållandet $x/a$ . Projektionen är normalt begränsad till smala zoner (i longitud) så att båda expansionsparametrarna vanligtvis är mindre än cirka 0,1, vilket garanterar snabb konvergens . Till exempel i varje UTM- zon är dessa expansionsparametrar mindre än 0,053 och för det brittiska nationella nätet ( NGGB ) är de mindre än 0,09. Alla direktserier som ger $x$ , $y$ , skala $k$ , konvergens $\gamma$ är funktioner för både latitud och longitud och parametrarna för ellipsoiden: alla inversa serier som ger $\phi$ , $\lambda$ , $k$ , $\gamma$ är funktioner av både $x$ och $y$ och parametrarna för ellipsoiden.

Direkt serie

I följande serie är $\lambda$ skillnaden mellan longituden för en godtycklig punkt och longituden för den valda centrala meridianen: $\lambda$ är i radianer och är positiv öster om den centrala meridianen. W-koefficienterna är funktioner för $\phi$ listade nedan . Serien för $y$ reduceras till det skalade meridianavståndet när $\lambda =0$ .

${\begin{aligned}x(\lambda ,\phi )&=k_{0}\nu \left[\lambda c+{\frac {\lambda ^{3}c^{3}W_{ 3}}{3!}}+{\frac {\lambda ^{5}c^{5}W_{5}}{5!}}+{\frac {\lambda ^{7}c^{7} W_{7}}{7!}}\right],\\[1ex]y(\lambda ,\phi )&=k_{0}\left[m(\phi )+{\frac {\lambda ^{ 2}\nu c^{2}t}{2}}+{\frac {\lambda ^{4}\nu c^{4}tW_{4}}{4!}}+{\frac {\lambda ^{6}\nu c^{6}tW_{6}}{6!}}+{\frac {\lambda ^{8}\nu c^{8}tW_{8}}{8!}}\ höger],\end{aligned}}$

Omvänd serie

Den omvända serien involverar en ytterligare konstruktion: fotpunktslatituden . Givet en punkt $(x,y)$$(0,y)$ projektionen definieras fotpunkten som punkten på den centrala meridianen med koordinater . Eftersom skalan på den centrala meridianen är $k_{0}$ är meridianavståndet från ekvatorn till fotpunkten lika med $m=y/k_{0}$ . Motsvarande fotpunktslatitud, $\phi _{1}$ , beräknas genom iteration eller den omvända meridianavståndsserien enligt beskrivningen ovan.

${\begin {aligned}\mu &={\frac {\pi y}{2m_{p}k_{0}}},\\\phi _{1}&=\mu +D_{2}\sin 2\mu + D_{4}\sin 4\mu +D_{6}\sin 6\mu +D_{8}\sin 8\mu +\cdots ,\\\end{aligned}}$

Betecknar funktioner utvärderade vid $\phi _{1}$ med en nedsänkt '1', de omvända serierna är:

${\begin{aligned}\lambda (x,y)&={\frac {x}{c_{1}(k_{0}\nu _{1})}}-{\frac {x^ {3}V_{3}}{3!c_{1}(k_{0}\nu _{1})^{3}}}-{\frac {x^{5}V_{5}}{5 !c_{1}(k_{0}\nu _{1})^{5}}}-{\frac {x^{7}V_{7}}{7!c_{1}(k_{0} \nu _{1})^{7}}},\\\phi (x,y)&=\phi _{1}-{\frac {x^{2}\beta _{1}t_{1 }}{2(k_{0}\nu _{1})^{2}}}-{\frac {x^{4}\beta _{1}t_{1}U_{4}}{4! (k_{0}\nu _{1})^{4}}}-{\frac {x^{6}\beta _{1}t_{1}U_{6}}{6!(k_{0 }\nu _{1})^{6}}}-{\frac {x^{8}\beta _{1}t_{1}U_{8}}{8!(k_{0}\nu _ {1})^{8}}}.\end{aligned}}$

Punktskala och konvergens

Punktskalan $k$ är oberoende av riktningen för en konform transformation. Det kan beräknas i termer av geografiska eller projektionskoordinater. Observera att serien för $k$ reduceras till $k_{0}$ när antingen $\lambda =0$ eller $x=0$ . Konvergensen $\gamma$ kan också beräknas (i radianer) i termer av geografiska eller projektionskoordinater:

${\begin{aligned}k(\lambda ,\phi )&=k_{0}\left[1+{\frac {\lambda ^{2}c^{2}H_{2}}{2 }}+{\frac {\lambda ^{4}c^{4}H_{4}}{24}}+{\frac {\lambda ^{6}c^{6}H_{6}}{720 }}\right],\\\gamma (\lambda ,\phi )&=\lambda s+{\frac {\lambda ^{3}c^{3}tH_{3}}{3}}+{\frac {\lambda ^{5}c^{5}tH_{5}}{15}}+{\frac {\lambda ^{7}c^{7}tH_{7}}{315}},\\k (x,y)&=k_{0}\left[1+{\frac {x^{2}K_{2}}{2(k_{0}\nu _{1})^{2}}} +{\frac {x^{4}K_{4}}{24(k_{0}\nu _{1})^{4}}}+{\frac {x^{6}K_{6}} {720(k_{0}\nu _{1})^{6}}}\höger]\\\gamma (x,y)&={\frac {xt_{1}}{k_{0}\nu _{1}}}+{\frac {x^{3}t_{1}K_{3}}{3(k_{0}\nu _{1})^{3}}}+{\frac { x^{5}t_{1}K_{5}}{15(k_{0}\nu _{1})^{5}}}+{\frac {x^{7}t_{1}K_{ 7}}{315(k_{0}\nu _{1})^{7}}}.\end{aligned}}$

Koefficienterna för alla serier

${\begin{aligned} W_{3}&=\beta -t^{2}\\W_{5}&=4\beta ^{3}(1-6t^{2})+\beta ^{2}(1+8t^ {2})-2\beta t^{2}+t^{4}\\W_{7}&=61-479t^{2}+179t^{4}-t^{6}+O(e ^{2})\\W_{4}&=4\beta ^{2}+\beta -t^{2}\\W_{6}&=8\beta ^{4}(11{-}24t ^{2})-28\beta ^{3}(1{-}6t^{2})+\beta ^{2}(1{-}32t^{2})-2\beta t^{2 }+t^{4}\\W_{8}&=1385-3111t^{2}+543t^{4}-t^{6}+O(e^{2})\\V_{3}& =\beta _{1}+2t_{1}^{2}\\V_{5}&=4\beta _{1}^{3}(1-6t_{1}^{2})-\beta _{1}^{2}(9-68t_{1}^{2})-72\beta _{1}t_{1}^{2}-24t_{1}^{4}\\V_{7 }&=61+662t_{1}^{2}+1320t_{1}^{4}+720t_{1}^{6}\\U_{4}&=4\beta _{1}^{2} -9\beta _{1}(1-t_{1}^{2})-12t_{1}^{2}\\U_{6}&=8\beta _{1}^{4}(11 -24t_{1}^{2})-12\beta _{1}^{3}(21-71t_{1}^{2})+15\beta _{1}^{2}(15-98t_ {1}^{2}+15t_{1}^{4})\\&\qquad \qquad +180\beta _{1}(5t_{1}^{2}-3t_{1}^{4} )+360t_{1}^{4}\\U_{8}&=-1385-3633t_{1}^{2}-4095t_{1}^{4}-1575t_{1}^{6}\\H_ {2}&=\beta \\H_{4}&=4\beta ^{3}(1-6t^{2})+\beta ^{2}(1+24t^{2})-4\ beta t^{2}\\H_{6}&=61-148t^{2}+16t^{4}\\H_{3}&=2\beta ^{2}-\beta \\H_{5 }&=\beta ^{4}(11-24t^{2})-\beta ^{3}(11-36t^{2})+\beta ^{2}(2-14t^{2}) +\beta t^{2}\\H_{7}&=17-26t^{2}+2t^{4}\\K_{2}&=\beta _{1}\\K_{4}& =4\beta _{1}^{3}(1-6t_{1}^{2})-3\beta _{1}^{2}(1-16t_{1}^{2})-24 \beta _{1}t_{1}^{2}\\K_{6}&=1\\K_{3}&=2\beta _{1}^{2}-3\beta _{1} -t_{1}^{2}\\K_{5}&=\beta _{1}^{4}(11-24t_{1}^{2})-3\beta _{1}^{3 }(8-23t_{1}^{2})+5\beta _{1}^{2}(3-14t_{1}^{2})+30\beta _{1}t_{1}^ {2}+3t_{1}^{4}\\K_{7}&=-17-77t_{1}^{2}-105t_{1}^{4}-45t_{1}^{6}\ end{aligned}}$

Seriens noggrannhet

Den exakta lösningen av Lee-Thompson, implementerad av Karney (2011), är av stort värde för att bedöma noggrannheten hos den trunkerade Redfearn-serien. Den bekräftar att trunkeringsfelet för (åttonde ordningens) Redfearn-serien är mindre än 1 mm ut till en longitudskillnad på 3 grader, vilket motsvarar ett avstånd på 334 km från den centrala meridianen vid ekvatorn men bara 35 km vid den norra gränsen för en UTM-zon.

Redfearn-serien blir mycket sämre när zonen vidgas. Karney diskuterar Grönland som ett lärorikt exempel. Den långa tunna landmassan är centrerad på 42W och på sin bredaste punkt är den inte mer än 750 km från den meridianen medan spännvidden i longitud når nästan 50 grader. Redfearn-serien uppnår ett maximalt fel på 1 kilometer .

Genomföranden

Implementeringarna nedan är exempel på användningen av Redfearn-serien. De definierande dokumenten i olika länder skiljer sig något åt ​​i notation och, ännu viktigare, genom att försumma några av de små termerna. Analysen av små termer beror på latitud- och longitudintervallen i de olika rutorna. Det finns också små skillnader i formlerna som används för meridianavstånd: en extra term läggs ibland till formeln ovan men en sådan term är mindre än 0,1 mm.

OSGB

Implementeringen av den tvärgående Mercator-projektionen i Storbritannien beskrivs fullständigt i OSGB -dokumentet A guide to coordinate systems in Great Britain , Bilagorna A.1, A.2 och C.

datum: OSGB36

ellipsoid: Luftig 1830

huvudaxel: 6 377 563.396

mindre axel: 6 356 256.909

central meridian longitud: 2° W

central meridian skalfaktor: 0,9996012717 sannt grid

ursprung och utgångspunkt för projektion och vinkel 02°N°W

: 02°N°W 49°N

falsk östlig riktning av sann rutnätsursprung, E0 (meter): 400 000

falsk nordlig riktning av sann rutnätsursprung, N0 (meter): -100 000

E = E0 + x = 400000 + x

N = N0 + y -k0*m(49 °)= y - 5527063

Utbredningen av nätet är 300 km österut och 400 km väster om den centrala meridianen och 1300 km norr om det falska ursprunget, (OSGB avsnitt 7.1), men med undantag för delar av Nordirland, Eire och Frankrike. En rutnätsreferens betecknas med paret (E,N) där E sträcker sig från något över noll till 800000m och N sträcker sig från noll till 1300000m. För att minska antalet siffror som behövs för att ge en rutnätsreferens är rutnätet uppdelat i 100 km rutor, som var och en har en tvåbokstavskod. Nationella rutnätspositioner kan ges med denna kod följt av en östlig och en nordlig position både i intervallet 0 och 99999m.

Projektionsformlerna skiljer sig något från Redfearns formler som presenteras här. De har förenklats genom att försumma de flesta termer av sjunde och åttonde ordningen i $\lambda$ eller $x/a$ : det enda undantaget är termen av sjunde ordningen i serien för $\ lambda$ i termer av $x/a$ . Denna förenkling är baserad på undersökningen av Redfearns villkor över den faktiska omfattningen av nätet. De enda andra skillnaderna är (a) absorptionen av den centrala skalfaktorn i krökningsradier och meridianavstånd , (b) ersättningen av parametern $\beta$ med parametern $\eta$ ( definieras ovan ).

OSGB-manualen innehåller en diskussion om Helmert-transformationerna som krävs för att länka geodetiska koordinater på Airy 1830- ellipsoiden och på WGS84.

UTM

Artikeln om Universal Transverse Mercator-projektionen ger en allmän översikt, men hela specifikationen definieras i US Defense Mapping Agency Technical Manuals TM8358.1 och TM8358.2. Det här avsnittet ger detaljer för zon 30 som ett annat exempel på Redfearns formler (vanligtvis kallade Thomas-formler i USA.)

ellipsoid: Internationell 1924 (aka Hayford 1909)

huvudaxel: 6 378 388.000

mindre axel: 6 356 911.946

central meridian longitud: 3° W

projektionsursprung: 3° W och 0°N

central meridian skala

ursprung: 9 6° grid: 9 6° grid. W och 0°N

falsk östning av verkligt rutnätsursprung, E0: 500 000

E = E0 + x = 500000 + x

norra halvklotet falskt nordligt av sant rutnätsursprung N0: 0

norra halvklotet: N = N0 + y = y

södra halvklotet falskt norr om sant rutnäts ursprung N0: 10 000 000

södra halvklotet: N = N0 + y = 10 000 000 + y

Serien som används för meridianavståndet innehåller termer av femte ordningen i $n$ men manualen anger att dessa är mindre än 0,03 mm (TM8358.2 Kapitel 2). Projektionsformlerna använder, $e'$ , den andra excentriteten (definierad ovan ) istället för $n$ . Gridreferensscheman definieras i artikeln Universal Transverse Mercator koordinatsystem . Noggrannheten som hävdas för UTM-projektionerna är 10 cm i rutnätskoordinater och 0,001 bågsekunder för geodetiska koordinater.

Irland

Den tvärgående Mercator-projektionen i Eire och Nordirland (en internationell implementering som spänner över ett land och en del av ett annat) implementeras för närvarande på två sätt:

Irländska rutnätsreferenssystem

datum: Irland 1965

ellipsoid: Luftig 1830 modifierad

huvudaxel: 6 377 340.189

mindre axel: 6 356 034.447

skalfaktor för central meridian: 1.000035

sant ursprung: 8°V och 53.5°N

av sant östlig utgångspunkt: 53.5°N gr0id 000, 0,00,

0,0,0,0 sant rutnätsursprung, N0: 250 000

Det irländska rutnätet använder OSGB-projektionsformler.

Irländsk tvärgående Mercator

datum: Irland 1965

ellipsoid: GRS80

huvudaxel: 6 378 137

småaxel: 6 356 752.314140

skalfaktor för central meridian: 0,999820

sant ursprung: 8°V och 53,5°N

falskt östlig utgångspunkt från sant rutnät 60, E0 0000 nordlig ursprung, E0 000

nordlig ursprung ursprung, N0: 750 000

Detta är ett intressant exempel på övergången mellan användning av en traditionell ellipsoid och en modern global ellipsoid. Antagandet av radikalt olika falska ursprung hjälper till att förhindra förvirring mellan de två systemen.

Se även

• Kartprojektion
• Mercator projektion
• Skala (karta)
• Universal Transversal Mercator koordinatsystem