Invariant grenrör

I dynamiska system , en gren av matematiken , är en invariant grenrör en topologisk gren som är invariant under verkan av det dynamiska systemet. Exempel inkluderar det långsamma grenröret , mittgrenröret , stabila grenröret , instabilt grenröret , undercentergrenröret och tröghetsgrenröret .

Vanligtvis, även om inte alltid, invarianta grenrör är konstruerade som en "störning" av ett invariant delrum kring en jämvikt. I dissipativa system bildar ett oföränderligt mångfald baserat på de allvarligaste, längsta varaktiga lägena en effektiv lågdimensionell, reducerad modell av dynamiken.

Definition

Betrakta differentialekvationen $dx/dt=f(x),\ x\in \mathbb {R} ^{n},$ med flöde $x(t)=\phi _{t}(x_{0})$ är lösningen av differentialekvationen med $x(0) =x_{0}$ . En mängd $S\subset \mathbb {R} ^{n}$ kallas en invariant mängd för differentialekvationen om, för varje $x_{0}\in S$ , lösningen ${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}(x_{0})} ,$ definierad på dess maximala existensintervall, har sin bild i $S$ . Alternativt ligger den omloppsbana som går genom varje $x_{0}\in S$ i $S$ . Dessutom kallas ${\displaystyle S} ett$ invariant grenrör om $S$ är ett grenrör .

Exempel

Enkelt 2D dynamiskt system

För alla fasta parametrar $a$ , betrakta variablerna $x(t),y(t)$ som styrs av paret kopplade differentialekvationer

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=ax-xy\quad {\text{and}}\quad {\frac {\mathrm {d} y}{ \mathrm {d} t}}=-y+x^{2}-2y^{2}.

Ursprunget är en jämvikt. Detta system har två oföränderliga grenrör av intresse genom ursprunget.

Den vertikala linjen $x=0$ är invariant som när $x=0$ x $x$ -ekvationen blir $tfrac {\mathrm { d} x}{\mathrm {d} t}}=0}$ vilket säkerställer att $x$ förblir noll. Detta invarianta grenrör, $x=0$ , är ett stabilt grenrör av ursprunget (när $a\geq 0$ ) som alla initiala villkor $x(0)=0,\ y(0)>-1/2$ leder till att lösningar asymptotiskt närmar sig ursprunget.
Parabeln $y=x^{2}/(1+2a)$ är invariant för alla parameter $a$ . Man kan se denna invarians genom att betrakta tidsderivatan ${\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\ tfrac {yx^{2}}{1+2a}}\right)$ och hitta den är noll på $y={\tfrac {x^{2}}{1+ 2a}}$ som krävs för ett invariant grenrör. För $a>0$ är denna parabel ursprungets instabila grenrör. För $a=0$ är denna parabel ett centrumgrenrör , närmare bestämt ett långsamt grenrör , av ursprunget.
För $a<0$ finns det bara ett invariant stabilt grenrör kring ursprunget, det stabila grenröret inkluderar alla $(x,y),\ y> -1/2$ .

Invarianta grenrör i icke-autonoma dynamiska system

En differentialekvation

{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=f(x,t ),\ x\in \mathbb {R} ^{n},\ t\in \mathbb {R} ,

representerar ett icke-autonomt dynamiskt system , vars lösningar är av formen $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _ {t_{0}}^{t}(x_{0})$ med $x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_ {0}$ . I det utökade fasutrymmet $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R}$ av ett sådant system, vilken initial yta $M_{0}\subset som helst \mathbb {R} ^{n}$ genererar ett invariant grenrör

{\mathcal {M}}=\cup _{t\in \mathbb {R} }\phi _{t_{0}}^{t}(M_{0}).

En grundläggande fråga är då hur man ur denna stora familj av oföränderliga grenrör kan lokalisera de som har störst inflytande på den övergripande systemdynamiken. Dessa mest inflytelserika invarianta grenrör i det utökade fasutrymmet av ett icke-autonomt dynamiskt system är kända som Lagrangian Coherent Structures .

Se även