Tillsatt massa

Inom vätskemekanik är tillagd massa eller virtuell massa trögheten som läggs till ett system eftersom en accelererande eller bromsande kropp måste flytta (eller avleda) en viss volym av omgivande vätska när den rör sig genom den. Tillsatt massa är ett vanligt problem eftersom objektet och den omgivande vätskan inte kan uppta samma fysiska utrymme samtidigt. För enkelhetens skull kan detta modelleras som en viss volym av vätska som rör sig med föremålet, även om i verkligheten "all" vätska kommer att accelereras, i olika grader.

Den dimensionslösa adderade massakoefficienten är den adderade massan dividerat med den undanträngda vätskemassan – dvs dividerat med vätskedensiteten gånger kroppens volym. I allmänhet är den adderade massan en andra ordningens tensor , som relaterar vätskeaccelerationsvektorn till den resulterande kraftvektorn på kroppen.

Bakgrund

Friedrich Wilhelm Bessel föreslog begreppet tillsatt massa 1828 för att beskriva rörelsen av en pendel i en vätska. Perioden för en sådan pendel ökade i förhållande till dess period i ett vakuum (även efter att ha tagit hänsyn till flyteffekter ), vilket indikerar att den omgivande vätskan ökade systemets effektiva massa.

Begreppet tillsatt massa är utan tvekan det första exemplet på renormalisering i fysiken. Begreppet kan också ses som en klassisk fysikanalog till det kvantmekaniska begreppet kvasipartiklar . Det är dock inte att förväxla med relativistisk massökning.

Det sägs ofta felaktigt att den tillsatta massan bestäms av vätskans rörelsemängd. Att så inte är fallet blir det tydligt när man överväger fallet med vätskan i en stor låda, där vätskemomentet är exakt noll vid varje tidpunkt. Den tillförda massan bestäms faktiskt av kvasi-momentum: den adderade massan gånger kroppsaccelerationen är lika med tidsderivatan av vätskekvasi-momentet.

Virtuell massstyrka

Ostadiga krafter på grund av en förändring av den relativa hastigheten hos en kropp nedsänkt i en vätska kan delas in i två delar: den virtuella masseffekten och Basset- kraften .

Ursprunget till kraften är att vätskan kommer att få kinetisk energi på bekostnad av det arbete som utförs av en accelererande nedsänkt kropp.

Det kan visas att den virtuella masskraften för en sfärisk partikel nedsänkt i en inviscid, inkompressibel vätska är

\mathbf {F} ={\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} } }{2}}\left({\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\ mathrm {d} t}}\right),

där feta symboler anger vektorer, $\mathbf {u}$ är vätskeflödeshastigheten , v $\displaystyle \mathbf {v} }$ är den sfäriska partikelhastigheten, $\rho _{\mathrm { c} }$ är vätskans massdensitet ( kontinuerlig fas), $V_{\mathrm {p} }$ är volymen av partikeln, och D/D t betecknar materialderivatan .

Ursprunget till begreppet "virtuell massa" blir uppenbart när vi tar en titt på momentumekvationen för partikeln.

m_{\mathrm {p} }{\frac {\mathrm {d} \mathbf { v} }{\mathrm {d} t}}=\sum \mathbf {F} +{\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}\left ({\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}} \höger),

där $\sum \mathbf {F}$ är summan av alla andra krafttermer på partikeln, såsom gravitation , tryckgradient , drag , lift , Basset force , etc.

Om vi flyttar derivatan av partikelhastigheten från höger sida av ekvationen till vänster får vi

\left(m_{\mathrm {p} }+{\frac {\rho _ {\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}\right){\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=\summa \mathbf {F} +{\frac {\rho _{\mathrm {c} }V_{\mathrm {p} }}{2}}{\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\ mathrm {D} t}},

så partikeln accelereras som om den hade en extra massa av hälften av den vätska som den förskjuter, och det finns också ett ytterligare kraftbidrag på höger sida på grund av accelerationen av vätskan.

Ansökningar

Den adderade massan kan inkorporeras i de flesta fysikekvationer genom att betrakta en effektiv massa som summan av massan och den adderade massan. Denna summa är allmänt känd som den "virtuella massan".

En enkel formulering av den tillsatta massan för en sfärisk kropp tillåter Newtons klassiska andra lag att skrivas i formen

F=m\,a

blir

F=(m+m_{\text{tillagd}})\,a.

Man kan visa att den adderade massan för en sfär (med radien $r$ ) är ${\tfrac {2}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{fluid}}$ , vilket är halva volymen av sfären gånger vätskans densitet. För en allmän kropp blir den tillsatta massan en tensor (refererad till som den inducerade masstensoren), med komponenter beroende på kroppens rörelseriktning. Inte alla element i den adderade masstensorn kommer att ha dimensionsmassa, vissa kommer att vara massa × längd och några kommer att vara massa × längd ² .

Alla kroppar som accelererar i en vätska kommer att påverkas av tillsatt massa, men eftersom den tillsatta massan är beroende av vätskans densitet försummas effekten ofta för täta kroppar som faller i mycket mindre täta vätskor. För situationer där vätskans densitet är jämförbar med eller större än kroppens densitet, kan den tillsatta massan ofta vara större än kroppens massa och om man försummar den kan det införa betydande fel i en beräkning.

Till exempel har en sfärisk luftbubbla som stiger i vatten massan ${\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{air} }$ men en extra massa på ${\tfrac {2}{3}}\pi r^{3}\rho _{\text{vatten}}.$ Eftersom vatten är ungefär 800 gånger tätare än luft (vid RTP ), blir den tillsatta massan i detta fall är ungefär 400 gånger bubblans massa.

Sjöbyggnadsarkitektur

Dessa principer gäller även för fartyg, ubåtar och offshoreplattformar. I den marina industrin kallas tillsatt massa som hydrodynamisk tillsatt massa. Vid fartygskonstruktion måste den energi som krävs för att accelerera den tillsatta massan beaktas när en sjöhållningsanalys utförs. För fartyg kan den tillförda massan lätt nå en fjärdedel eller en tredjedel av skeppets massa och representerar därför en betydande tröghet , förutom friktions- och vågframkallande dragkrafter .

För vissa geometrier som sjunker fritt genom en vattenpelare kan den hydrodynamiska tillförda massan associerad med den sjunkande kroppen vara mycket större än föremålets massa. Denna situation kan till exempel uppstå när den sjunkande kroppen har en stor plan yta med sin normalvektor pekad i rörelseriktningen (nedåt). En avsevärd mängd kinetisk energi frigörs när ett sådant föremål plötsligt bromsas in (t.ex. på grund av en kollision med havsbotten).

Inom offshoreindustrin är hydrodynamisk tillagd massa av olika geometrier föremål för omfattande undersökningar. Dessa studier krävs vanligtvis som input till riskbedömningar av fallande objekt under vatten (studier fokuserade på att kvantifiera risken för påverkan av fallande objekt på undervattensinfrastruktur). Eftersom hydrodynamisk tillförd massa kan utgöra en betydande andel av ett sjunkande föremåls totala massa vid islagsögonblicket, påverkar det avsevärt det konstruktionsmotstånd som övervägs för undervattensskyddskonstruktioner.

Närhet till en gräns (eller annat objekt) kan påverka mängden hydrodynamisk tillförd massa. Detta innebär att tillsatt massa beror på både objektets geometri och dess närhet till en gräns. För flytande kroppar (t.ex. fartyg/fartyg) betyder detta att den flytande kroppens reaktion (dvs. på grund av vågverkan) förändras i ändliga vattendjup (effekten är praktiskt taget obefintlig på djupt vatten). Det specifika djupet (eller närheten till en gräns) vid vilket den hydrodynamiska tillförda massan påverkas beror på kroppens geometri och placering och form av en gräns (t.ex. en brygga, havsvägg, skott eller havsbotten).

Den hydrodynamiska tillförda massan associerad med ett fritt sjunkande föremål nära en gräns liknar den för en flytande kropp. I allmänhet ökar den hydrodynamiska tillförda massan när avståndet mellan en gräns och en kropp minskar. Denna egenskap är viktig när man planerar undervattensinstallationer eller förutsäger en flytande kropps rörelse under grunt vatten.

Aeronautik

I flygplan (förutom ballonger som är lättare än luft) tas vanligtvis inte hänsyn till den tillförda massan eftersom luftens densitet är så liten.

Se även

Bassetkraft för att beskriva effekten av kroppens relativa rörelsehistoria på de viskösa krafterna i ett Stokes-flöde
Basset–Boussinesq–Oseens ekvation för beskrivning av rörelsen hos – och krafter på – en partikel som rör sig i ett ostadigt flöde vid låga Reynolds-tal
Darwindrift för förhållandet mellan adderad massa och Darwindriftvolymen
Keulegan–Carpenter-nummer för en dimensionslös parameter som ger den relativa betydelsen av dragkraften för tröghet vid vågbelastning
Morisons ekvation för en empirisk kraftmodell i vågbelastning, som involverar ökad massa och motstånd
Response Amplitude Operator för användning av extra massa i fartygsdesign

externa länkar