Morisons ekvation

Flödeskrafter enligt Morisons ekvation för en kropp placerad i ett harmoniskt flöde, som en funktion av tiden. Blå linje: dragkraft; röd linje: tröghetskraft; svart linje: total kraft enligt Morisons ekvation. Observera att tröghetskraften ligger framför fasen av dragkraften: flödeshastigheten är en sinusvåg , medan den lokala accelerationen är en cosinusvåg som en funktion av tiden.

Inom vätskedynamik är Morisonekvationen en semi- empirisk ekvation för den inline kraften på en kropp i oscillerande flöde. Den kallas ibland MOJS-ekvationen efter alla fyra författarna – Morison, O'Brien , Johnson och Schaaf – av 1950-talet där ekvationen introducerades. Morisons ekvation används för att uppskatta vågbelastningarna vid utformningen av oljeplattformar och andra offshorestrukturer .

Beskrivning

Vågbelastning på stålmantelstrukturen på en PUQC-plattform (Production Utilities Quarters Compression) i oljefältet Rong Doi, offshore Vietnam (se Oil megaprojects (2010) ).

Morisonekvationen är summan av två kraftkomponenter: en tröghetskraft i fas med den lokala flödesaccelerationen och en dragkraft som är proportionell mot kvadraten på den momentana flödeshastigheten ( förtecknat) . Tröghetskraften är av den funktionella formen som finns i potentialflödesteorin , medan dragkraften har den form som finns för en kropp placerad i ett jämnt flöde. I det heuristiska tillvägagångssättet av Morison, O'Brien, Johnson och Schaaf läggs dessa två kraftkomponenter, tröghet och motstånd, helt enkelt till för att beskriva inlinekraften i ett oscillerande flöde. Den tvärgående kraften – vinkelrätt mot flödesriktningen, på grund av virvelavkastning – måste åtgärdas separat.

Morisons ekvation innehåller två empiriska hydrodynamiska koefficienter - en tröghetskoefficient och en luftmotståndskoefficient - som bestäms från experimentella data. Som framgår av dimensionsanalys och i experiment av Sarpkaya, beror dessa koefficienter i allmänhet på Keulegan-Carpenter-talet , Reynolds-talet och ytjämnheten .

Beskrivningarna nedan av Morisons ekvation är för enkelriktade påströmningsförhållanden såväl som kroppsrörelse.

Fast kropp i ett oscillerande flöde

I ett oscillerande flöde med flödeshastighet $u(t)$ , ger Morisons ekvation den inline-kraften parallell med flödesriktningen:

$F\,=\,\underbrace {\rho \,C_{m}\,V\,{\dot {u}}} _{F_{I}}+\underbrace {{\ frac {1}{2}}\,\rho \,C_{d}\,A\,u\,|u|} _{F_{D}},$

var

• $F(t)$ är den totala inlinekraften på objektet,
• ${\displaystyle {\dot {u}}\equiv {\text{d}}u/{\text{d}}t} är flödesaccelerationen, dvs$ tidsderivatan av flödet hastighet $u(t),$
• tröghetskraften ${\displaystyle F_{I}\,=\,\rho \,C_{m}\,V\,{\dot {u}}} , är summan$ av Froude –Krylov-kraften $\rho \,V\,{\dot {u}}$ och den hydrodynamiska masskraften $\rho \,C_{a} \,V\,{\dot {u}},$
• dragkraften $F_{D}\,=\,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\,\rho \,C_{d}\,A\,u\,|u|$ enligt dragekvationen , _
• $C_{m}=1+C_{a}$ är tröghetskoefficienten, och $C_{a}$ den adderade massakoefficienten ,
• A är ett referensområde, t.ex. kroppens tvärsnittsarea vinkelrätt mot flödesriktningen,
• V är kroppens volym.

Till exempel för en cirkulär cylinder med diameter D i oscillerande flöde, är referensarean per enhet cylinderlängd $A=D$ och cylindervolymen per enhet cylinderlängd är $V={\scriptstyle {\frac {1}{4}}}\pi {D^{2}}$ . Som ett resultat $F(t)$ den totala kraften per enhet cylinderlängd:

$F\,=\,C_{m}\,\rho \,{\frac {\pi }{4}}D^{2}\,{\dot {u}}\,+\,C_ {d}\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,D\,u\,|u|.$

Förutom inlinekraften finns det också oscillerande lyftkrafter vinkelräta mot flödesriktningen, på grund av virvelavkastning . Dessa omfattas inte av Morison-ekvationen, som endast är för inline-krafterna.

Rörlig kropp i ett oscillerande flöde

Om kroppen också rör sig, med hastighet $v(t)$ , blir Morisons ekvation:

$F=\underbrace {\rho \,V{\dot {u}}} _{a}+\underbrace {\rho \,C_{a}V\left({\dot {u}}-{ \dot {v}}\right)} _{b}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\rho \,C_{d}A\left(uv\right)\left|uv\right |} _{c}.$

där de totala kraftbidragen är:

• a : Froude–Krylov-styrkan ,
• b : hydrodynamisk masskraft,
• c : dragkraft .

Observera att den adderade masskoefficienten $C_{a}$ är relaterad till tröghetskoefficienten $C_{m}$ eftersom $C_{m}=1+ C_{a}$ .

Begränsningar

• Morisonekvationen är en heuristisk formulering av kraftfluktuationerna i ett oscillerande flöde. Det första antagandet är att flödesaccelerationen är mer eller mindre enhetlig vid platsen för kroppen. Till exempel, för en vertikal cylinder i ytgravitationsvågor kräver detta att cylinderns diameter är mycket mindre än våglängden . Om kroppens diameter inte är liten jämfört med våglängden diffraktionseffekter beaktas.
• För det andra antas det att de asymptotiska formerna: tröghets- och dragkraftsbidragen, giltiga för mycket små respektive mycket stora Keulegan-Carpenter-tal, bara kan läggas till för att beskriva kraftfluktuationerna vid mellanliggande Keulegan-Carpenter-tal. Men från experiment visar det sig att i denna mellanliggande regim – där både motstånd och tröghet ger betydande bidrag – är Morisonekvationen inte kapabel att beskriva krafthistorien särskilt bra. Även om tröghets- och motståndskoefficienterna kan ställas in för att ge de korrekta extremvärdena för kraften.
• För det tredje, när den utvidgas till orbitalflöde, vilket är ett fall av icke enkelriktat flöde, till exempel påträffat av en horisontell cylinder under vågor, ger Morisonekvationen inte en bra representation av krafterna som en funktion av tiden.

Vidare läsning

• Morison, JR; O'Brien, MP; Johnson, JW; Schaaf, SA (1950), "Den kraft som utövas av ytvågor på pålar", Petroleum Transactions , American Institute of Mining Engineers , 189 (5): 149–154, doi : 10.2118/950149-G
•   Sarpkaya, T. (2010), Wave Forces on Offshore Structures , Cambridge University Press, ISBN 9780521896252
•   Sarpkaya, T.; Isaacson, M. (1981), Mechanics of wave forces on offshore structures , New York: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-25402-4
•   Sumer, BM; Fredsøe, J. (2006), Hydrodynamics around cylindrical structures , Advanced Series on Ocean Engineering, vol. 26 (reviderad utg.), World Scientific, ISBN 981-270-039-0 , 530 sidor