Tidsutveckling av integraler

Inom differentialkalkyl måste man i många tillämpningar beräkna förändringshastigheten för en volym eller ytintegral vars integrationsdomän, såväl som integranden , är funktioner av en viss parameter. I fysiska applikationer är den parametern ofta tid t .

Introduktion

Förändringshastigheten för endimensionella integraler med tillräckligt jämna integrander, styrs av denna förlängning av kalkylens grundsats :

${\frac {d}{dt}}\int _{a\left(t\right)}^{b \left(t\right)}f\left(t,x\right)dx=\int _{a\left(t\right)}^{b\left(t\right)}{\frac {\partial f\left(t,x\right)}{\partial t}}dx+f\left(t,b\left(t\right)\right)b^{\prime }\left(t\right)- f\left(t,a\left(t\right)\right)a^{\prime }\left(t\right)$

Kalkylen för rörliga ytor ger analoga formler för volymintegraler över euklidiska domäner , och ytintegraler över differentialgeometri av ytor , krökta ytor, inklusive integraler över krökta ytor med rörliga konturgränser .

Volymintegraler

Låt t vara en tidsliknande parameter och betrakta en tidsberoende domän Ω med en slät ytgräns S . Låt F vara ett tidsberoende invariant fält definierat i det inre av Ω. Sedan förändringshastigheten för integralen $\int _{\Omega }F\,d\Omega$

regleras av följande lag:

${\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }F\,d\Omega =\int _{\Omega }{\frac {\partial F}{\partial t}}\,d\Omega +\int _{S}CF\,dS$

där C är gränssnittets hastighet . Hastigheten för gränssnittet C är det grundläggande konceptet i kalkylen för rörliga ytor . I ovanstående ekvation måste C uttryckas med avseende på den yttre normalen . Denna lag kan betraktas som generaliseringen av kalkylens grundläggande sats .

Ytintegrer

En relaterad lag reglerar förändringshastigheten för ytintegralen

$\int _{S}F\,dS$

Lagen lyder

${\frac {d}{dt}}\int _{S}F\,dS =\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\,dS$

där ${\delta }/{\delta }t$ -derivatan är den fundamentala operatorn i kalkylen för rörliga ytor, som ursprungligen föreslagits av Jacques Hadamard . $B_{\alpha }^{\alpha }$ är spåret av medelkurvaturtensorn . I denna lag C inte vara uttryck med avseende på den yttre normalen, så länge som valet av normalen är konsekvent för C och $B_{\alpha }^{\alpha }$ . Den första termen i ekvationen ovan fångar förändringshastigheten i F medan den andra korrigerar för expanderande eller krympande area. Det faktum att medelkurvatur representerar förändringshastigheten i arean följer av att tillämpa ovanstående ekvation på $F\equiv 1$ eftersom $\int _{S}\,dS$ är area :

${\frac {d}{dt}}\int _{S}\,dS=-\int _{S}CB_{\ alfa }^{\alpha }\,dS$

Ovanstående ekvation visar att medelkurvatur $B_{\alpha }^{\alpha }$ lämpligen kan kallas areans formgradient . En evolution styrd av

$C\equiv B_{\alpha }^{\alpha }$

är det populära medelkurvaturflödet och representerar den brantaste nedstigningen med avseende på yta. Observera att för en sfär med radien R , ${\displaystyle B_{\alpha }^{\alpha }=-2/R} ,$ och för en cirkel med radien R , $B_{\alpha }^{\alpha }=-1/R$ med avseende på den yttre normalen.

Ytantegraler med rörliga konturgränser

Illustration till lagen för ytintegraler med rörlig kontur. Ändring i area kommer från två källor: expansion genom krökning $CB_{\alpha }^{\alpha }dt$ och expansion genom annexation $cdt$ .

Antag att S är en rörlig yta med en rörlig kontur γ. Antag att hastigheten för konturen γ med avseende på S är c ​​. Då förändringshastigheten för den tidsberoende integralen:

$\int _{S}F\,dS$

är

${\frac {d}{dt}}\int _{ S}F\,dS=\int _{S}{\frac {\delta F}{\delta t}}\,dS-\int _{S}CB_{\alpha }^{\alpha }F\, dS+\int _{\gamma }c\,d\gamma$

Den sista termen fångar areaförändringen på grund av annektering, som bilden till höger illustrerar.