Thue ekvation

Inom matematiken är en Thue-ekvation en diofantisk ekvation av formen

ƒ ( x , y ) = r ,

där ƒ är en irreducerbar bivariat form av grad minst 3 över de rationella talen, och r är ett rationellt tal som inte är noll . Den är uppkallad efter Axel Thue som 1909 bevisade ett teorem , nu kallat Thue's theorem , att en Thue-ekvation har ändligt många lösningar i heltal x och y .

Thue-ekvationen är lösbar effektivt : det finns en explicit gräns för lösningarna x , y av formen $(C_{1}r)^{C_{2}}$ där konstanterna C ₁ och C ₂ beror endast på formen ƒ . Ett starkare resultat gäller att om K är det fält som genereras av rötterna av ƒ så har ekvationen bara ändligt många lösningar med x och y heltal av K och återigen kan dessa effektivt bestämmas.

Finiteness of solutions och diopantine approximation

Thues ursprungliga bevis för att ekvationen som nämns i hans ära har ändligt många lösningar är genom beviset för vad som nu är känt som Thues sats : det hävdar att för vilket algebraiskt tal $\alpha$ har grad $d \geq 3$ och för alla $\varepsilon >0$ finns det bara ändligt många co-prime heltal $p,q$ med $q>0$ så att $|\alpha -p/q|<q^{-(d+1+\varepsilon )/2}$ . Genom att tillämpa detta teorem kan man nästan omedelbart härleda ändligheten av lösningar. Men Thues bevis, såväl som efterföljande förbättringar av Siegel , Dyson och Roth , var alla ineffektiva.

Lösa Thue-ekvationer

Att lösa en Thue-ekvation kan beskrivas som en algoritm redo för implementering i mjukvara. I synnerhet är det implementerat i följande datoralgebrasystem :

i PARI/GP som funktionerna thueinit() och thue() .
i Magma datoralgebrasystem som funktionerna ThueObject() och ThueSolve() .
i Mathematica genom Reduce

Begränsa antalet lösningar till Thue-ekvationer

Även om det finns flera effektiva metoder för att lösa Thue-ekvationer (inklusive att använda Bakers metod och Skolems $p$ -adic-metod), kan dessa inte ge de bästa teoretiska gränserna för antalet lösningar. Man kan kvalificera en effektiv gräns $C(f,r)$ i Thue-ekvationen $f(x,y)=r$ av parametrarna det beror på, och hur "bra" beroendet är. De bästa resultaten som är kända idag, huvudsakligen baserade på banbrytande arbete av Bombieri och Schmidt , ger en gräns för formen $C(f,r) )=C\cdot (\deg f)^{1+\omega (r)}$ , där $C$ är en absolut konstant (det vill säga oberoende av både $f$ och ${\ displaystyle r}$ ) och $\omega (\cdot )$ är antalet distinkta primtalsdelare för $r$ . Den mest betydande kvalitativa förbättringen av Bombieris och Schmidts sats beror på Stewart , som fick en gräns av formen $C(f ) ,r)=C\cdot (\deg f)^{1+\omega (g)}$ där $g$ är en divisor för $r$ som överstiger $|r|^{3/4}$ i absolut värde. Det antas att man kan ta gränsen $C(f,r)=C(\deg f)$ ; det vill säga bara beroende på graden av $f$ men inte dess koefficienter, och helt oberoende av heltal $r$ på höger sida av ekvationen. Detta är en svagare form av en gissning om Stewart , och är ett specialfall av den enhetliga begränsningsförmodan för rationella poäng . Denna gissning har bevisats för "små" heltal $r$ , där litenhet mäts i termer av diskriminanten av formen ${\displaystyle f} ,$ av olika författare, inklusive Evertse, Stewart och Akhtari . Stewart och Xiao visade en stark form av denna gissning, och hävdade att antalet lösningar är absolut begränsat, håller i genomsnitt (eftersom $r$ sträcker sig över intervallet $|r|\leq Z$ med $Z\rightarrow \infty$ )