Symmetri i mekanik

Symmetry in Mechanics: A Gentle, Modern Introduction är en grundutbildningsbok om matematik och matematisk fysik , centrerad på användningen av symplektisk geometri för att lösa Kepler-problemet . Den skrevs av Stephanie Singer och publicerades av Birkhäuser 2001.

Ämnen

Keplerproblemet i klassisk mekanik är ett specialfall av tvåkroppsproblemet där två punktmassor interagerar med Newtons lag om universell gravitation ( eller av någon central kraft som lyder en omvänd kvadratisk lag ). Boken börjar och slutar med detta problem, första gången på ett ad hoc-sätt som representerar problemet genom att använda ett system med tolv variabler för positionerna och momentumvektorerna för de två kropparna, använder fysikens bevarandelagar för att skapa ett system med differentialekvationer som följer av dessa variabler och löser dessa ekvationer. Den andra gången beskriver den positionerna och variablerna för de två kropparna som en enda punkt i ett 12-dimensionellt fasutrymme , beskriver kropparnas beteende som ett Hamiltonskt system och använder symplektiska reduktioner för att krympa fasutrymmet till två dimensioner. innan man löser det för att producera Keplers lagar för planetrörelse på ett mer direkt och principiellt sätt.

Den mellersta delen av boken ställer upp maskineriet av symplektisk geometri som behövs för att slutföra denna turné. Ämnen som tas upp i denna del inkluderar grenrör , vektorfält och differentialformer , fram- och tillbakadragningar , symplektiska grenrör , hamiltonska energifunktioner , representation av finita och infinitesimala fysiska symmetrier med Lie-grupper och Lie-algebror , och användningen av momentkartan för att relatera symmetrier till konserverade mängder . Även i dessa ämnen är konkreta exempel centrala i presentationen.

Publik och mottagning

Boken är skriven som en lärobok för studenter i matematik och fysik på grundnivå, med många övningar, och den förutsätter att eleverna redan är bekanta med multivariabel kalkyl och linjär algebra , en betydligt lägre nivå av bakgrundsmaterial än andra böcker om symplektisk geometri inom mekanik. Det är inte heltäckande i sin täckning av symplektisk geometri och mekanik, men skulle kunna användas som hjälpläsning i en klass som täcker det materialet från andra källor, som Abraham och Marsdens Foundations of Mechanics eller Arnolds Mathematical Methods of Classical Mechanics . Alternativt kan den på egen hand ge en mer tillgänglig första kurs i detta material, innan den presenteras mer heltäckande i en annan kurs.

Recensenten William Satzer skriver att den här boken "gör seriösa ansträngningar för att ta itu med riktiga elever och deras potentiella svårigheter" och växlar bekvämt mellan matematiska och fysiska syn på problemet. På liknande sätt skriver recensenten JR Dorfman att den "tar bort några av språkbarriärerna som delar matematikens och fysikens världar", och recensenten Jiří Vanžura kallar det "anmärkningsvärt" i sin dubbla förmåga att motivera matematiska metoder för fysikstudenter och tillhandahålla tillämpningar inom fysik. för matematikstudenter och tillägger att "Boken är perfekt skriven och tjänar mycket väl sitt syfte." Recensenten Ivailo Mladenov noterar med gillande bokens uppmärksamhet på exemplet-första exposition, och trots att han pekar på en mindre felaktighet angående nationaliteten för Sophus Lie rekommenderar han den till både grund- och doktorander. Recensenten Richard Montgomory skriver att boken gör "ett utmärkt jobb med att leda läsaren från Keplerproblemet till en syn på det växande fältet för symplektisk geometri".