Supersingular K3-yta

I algebraisk geometri är en supersingular K3-yta en K3-yta över ett fält k med karakteristisk p > 0 så att Frobenius sluttningar på den kristallina kohomologin H 2 ( X , W ( k )) alla är lika med 1. Dessa har också kallats Artin supersingular K3-ytor. Supersingular K3-ytor kan anses vara den mest speciella och intressanta av alla K3-ytor.

Definitioner och huvudresultat

kallas en jämn projektiv variation X över ett fält med karakteristisk p > 0 supersingular om alla sluttningar av Frobenius på den kristallina kohomologin Ha ( X , W ( k )) är lika med a /2, för alla a . Detta ger i synnerhet standarduppfattningen om en supersingular abelisk sort . För en variation X över ett ändligt fält F q , är det ekvivalent att säga att egenvärdena för Frobenius på den l-adiska kohomologin Ha ( X , Q l ) är lika med q a /2 gånger enhetsrötter. Det följer att varje variation i positiv egenskap vars la -adiska kohomologi genereras av algebraiska cykler är supersingular.

En K3-yta vars la -adiska kohomologi genereras av algebraiska cykler kallas ibland en Shioda supersingular K3-yta. Eftersom det andra Betti-talet för en K3-yta alltid är 22, betyder denna egenskap att ytan har 22 oberoende element i sin Picard-grupp (ρ = 22). Av vad vi har sagt måste en K3-yta med Picard nummer 22 vara supersingular.

Omvänt skulle Tate-förmodan antyda att varje supersingular K3-yta över ett algebraiskt slutet fält har Picardnummer 22. Detta är nu känt i varje karakteristik p utom 2, eftersom Tate-förmodan bevisades för alla K3-ytor i karakteristiken p 3 av åtminstone Nygaard-Ogus (1985) , Maulik (2014) , Charles (2013) och Madapusi Pera (2013) .

För att se att K3-ytor med Picard-nummer 22 endast existerar i positiv karakteristik, kan man använda Hodge-teorin för att bevisa att Picard-talet för en K3-yta i karakteristiken noll är högst 20. I själva verket är Hodge-diamanten för en komplex K3-yta samma (se klassificering ), och den mellersta raden lyder 1, 20, 1. Med andra ord tar h 2,0 och h 0,2 båda värdet 1, med h 1,1 = 20. Därför är dimensionen för utrymme som spänner över av de algebraiska cyklerna är högst 20 i karakteristiken noll; ytor med detta maximala värde kallas ibland singular K3-ytor .

Ett annat fenomen som bara kan uppstå i positiv karaktär är att en K3-yta kan vara irrationell . Michael Artin observerade att varje unirational K3-yta över ett algebraiskt stängt fält måste ha Picardnummer 22. (Särskilt måste en unirational K3-yta vara supersingular.) Omvänt antog Artin att varje K3-yta med Picardnummer 22 måste vara unirational. Artins gissning bevisades i karakteristik 2 av Rudakov & Shafarevich (1978) . Bevis i varje egenskap p minst 5 hävdades av Liedtke (2013) och Lieblich (2014) , men motbevisades senare av Bragg & Lieblich (2022) .

Historia

Det första exemplet på en K3-yta med Picard-nummer 22 gavs av Tate (1965), som observerade att Fermat-kvarten

w 4 + x 4 + y 4 + z 4 = 0

har Picard nummer 22 över algebraiskt stängda fält med karakteristik 3 mod 4. Sedan visade Shioda att den elliptiska modulytan på nivå 4 (den universella generaliserade elliptiska kurvan E (4) → X (4)) i karakteristik 3 mod 4 är en K3-yta med Picard nummer 22, liksom Kummer-ytan av produkten av två supersingulära elliptiska kurvor i udda karaktäristik. Shimada ( 2004 , 2004b ) visade att alla K3-ytor med Picard nummer 22 är dubbla höljen av det projektiva planet . I fallet med egenskap 2 kan dubbelhöljet behöva vara ett oskiljaktigt hölje .

Diskriminanten för skärningsformen på Picardgruppen för en K3-yta med Picardnummer 22 är en jämn potens

p 2 e

av karakteristiken p , vilket visades av Artin och Milne . Här kallas e Artin-invarianten av K3-ytan. Artin visade det

1 ≤ e ≤ 10.

Det finns en motsvarande Artin-stratifiering av modulutrymmena för supersingulära K3-ytor, som har dimension 9. Underrummet för supersingulära K3-ytor med Artin invariant e har dimensionen e − 1.

Exempel

I egenskap 2,

z 2 = f ( x , y ) ,

för ett tillräckligt allmänt polynom f ( x , y ) av grad 6, definierar en yta med 21 isolerade singulariteter. Den släta projektiva minimalmodellen av en sådan yta är en unirational K3-yta, och därmed en K3-yta med Picard-nummer 22. Den största Artin-invarianten här är 10.

På liknande sätt, i egenskap 3,

z 3 = g ( x , y ) ,

för ett tillräckligt allmänt polynom g ( x , y ) av grad 4, definierar en yta med 9 isolerade singulariteter. Den släta projektiva minimalmodellen av en sådan yta är återigen en unirational K3-yta, och därmed en K3-yta med Picard-nummer 22. Den högsta Artin-invarianten i denna familj är 6.

Dolgachev & Kondō (2003) beskrev den supersingulara K3-ytan i karakteristik 2 med Artin nummer 1 i detalj.

Kummer ytor

Om karakteristiken p är större än 2, visade Ogus (1979) att varje K3-yta S med Picard-nummer 22 och Artin invariant högst 2 är en Kummer-yta, vilket betyder den minimala upplösningen av kvoten av en abelisk yta A genom avbildningen x ↦ − x . Mer exakt A en supersingulär abelisk yta, isogen till produkten av två supersingulära elliptiska kurvor.

Se även

Anteckningar

Hämtad från " https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Supersingular_K3_surface&oldid=1104772423 "