Superoperatör

Inom fysiken är en superoperator en linjär operator som verkar på ett vektorrum av linjära operatorer .

Ibland syftar termen mer speciellt på en helt positiv karta som också bevarar eller inte ökar spåret av dess argument . Denna specialiserade betydelse används flitigt inom kvantberäkningsområdet, särskilt kvantprogrammering , eftersom de karaktäriserar avbildningar mellan densitetsmatriser .

Användningen av superprefixet här är inte på något sätt relaterad till dess andra användning inom matematisk fysik. Det vill säga superoperatorer har ingen koppling till supersymmetri och superalgebra som är förlängningar av de vanliga matematiska begreppen som definieras genom att utvidga ringen av tal till att omfatta Grassmann-tal . Eftersom superoperatörer själva är operatörer används superprefixet för att skilja dem från de operatörer som de agerar på.

Vänster/höger multiplikation

Definiera vänster och höger multiplikationssuperoperatorer med ${\mathcal {L}}(A)[\rho ]=A\rho$ och ${\mathcal {R}}(A)[\rho ]=\rho A$ respektive man kan uttrycka kommutatorn som

$[A,\rho ]={\mathcal {L}}(A)[\rho ]-{\mathcal {R}}(A)[\rho ].$

Därefter vektoriserar vi matrisen $\rho$ som är avbildningen

$\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|\to |\rho \rangle \rangle =\sum _{i,j}\ rho _{ij}|i\rangle \otimes |j\rangle ,$

där $|\cdot \rangle \rangle$ betecknar en vektor i Fock-Liouville-utrymmet. Matrisrepresentationen av ${\mathcal {L}}(A)$ beräknas sedan genom att använda samma mappning

$A\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}A|i\rangle \langle j|\to \summa _{i, j}\rho _{ij}(A|i\rangle )\otimes |j\rangle =\summa _{i,j}\rho _{ij}(A\otimes I)(|i\rangle \otimes | j\rangle )=(A\otimes I)|\rho \rangle \rangle ={\mathcal {L}}(A)[\rho ],$

indikerar att ${\mathcal {L}}(A)=A\otimes I$ . På liknande sätt kan man visa att ${\mathcal {R}}(A)=(I\otimes A^{T})$ . Dessa representationer tillåter oss att beräkna saker som egenvärden associerade med superoperatorer. Dessa egenvärden är särskilt användbara inom området öppna kvantsystem, där de verkliga delarna av Lindblad-superoperatorns egenvärden kommer att indikera om ett kvantsystem kommer att slappna av eller inte.

Exempel von Neumanns ekvation

Inom kvantmekaniken uttrycker Schrödingers ekvation , $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi$ tidsutvecklingen av tillståndsvektorn $\psi$ genom verkan av Hamiltonian ${\hat {H}}$ som är en operator som avbildar tillståndsvektorer till tillståndsvektorer.

I den mer allmänna formuleringen av John von Neumann uttrycks statistiska tillstånd och ensembler av densitetsoperatorer snarare än tillståndsvektorer. I detta sammanhang uttrycks tidsutvecklingen för densitetsoperatorn via von Neumann-ekvationen i vilken densitetsoperatorn påverkas av en superoperator ${\mathcal {H}}$ som avbildar operatorer till operatorer. Den definieras genom att ta kommutatorn med avseende på Hamilton-operatorn:

$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\mathcal {H}}[\rho ]$

var

${\mathcal {H}}[\rho ]=[{\hat {H}},\rho ]\equiv {\ hatt {H}}\rho -\rho {\hat {H}}$

Eftersom kommutatorparenteser används flitigt i QM utelämnas vanligtvis denna explicita superoperatorpresentation av Hamiltonians handling.

Exempel derivator av funktioner på operatörsutrymmet

När man betraktar en operatorvärderad funktion av operatorer ${\hat {H}}={\hat {H}}({\hat {P}})$ som till exempel när vi definiera den kvantmekaniska Hamiltonian för en partikel som en funktion av positions- och momentumoperatorerna, kan vi (av vilken anledning som helst) definiera en "operatorderivata" ${\frac {\Delta {\hat { H}}}{\Delta {\hat {P}}}}$ som en superoperator som mappar en operator till en operator.

Till exempel, om $H(P)=P^{3}=PPP$ så är dess operatorderivata superoperatorn definierad av:

${\frac {\Delta H}{\Delta P}}[X]=XP^{2}+PXP+P^ {2}X$

Denna "operatorderivata" är helt enkelt den jakobiska matrisen för funktionen (av operatorer) där man helt enkelt behandlar operatorinmatningen och -utgången som vektorer och utökar utrymmet för operatorer på något sätt. Den jakobiska matrisen är då en operator (på en högre abstraktionsnivå) som verkar på det vektorrummet (av operatorer).

Se även

Lindblad superoperator