N = 2 superkonformal algebra

I matematisk fysik är 2D N = 2 superkonformalgebra en oändligt dimensionell Lie superalgebra , relaterad till supersymmetri , som förekommer i strängteori och tvådimensionell konform fältteori . Den har viktiga tillämpningar inom spegelsymmetri . Den introducerades av M. Ademollo, L. Brink och A. D'Adda et al. ( 1976 ) som en gauge-algebra för den fermioniska strängen U(1).

Definition

Det finns två lite olika sätt att beskriva N = 2 superkonformal algebra, kallad N = 2 Ramond algebra och N = 2 Neveu–Schwarz algebra, som är isomorfa (se nedan) men skiljer sig i valet av standardbas. N { = 2 superkonformalgebra är Lie superalgebra med basis av jämna element c , L _n , J _n , för n ett heltal, och udda element G
⁺ _r , G
⁻ _r , där $\displaystyle r\in { \mathbb {Z} }}$ (för Ramond-basen) eller ${\textstyle r\in {1 \over 2}+{\mathbb {Z} }} ($ för Neveu–Schwarz-basis) definierade genom följande relationer:

c är i mitten

$[L_{m},L_{n}] =\left(mn\right)L_{m+n}+{c \over 12}\left(m^{3}-m\right)\delta _{m+n,0}$

$[L_{m},\,J_{n}]=-nJ_{m+n}$

$[J_{m},J_{n}]={c \over 3}m\delta _{m+n,0}$

$\{G_{r}^{+},G_{s}^{-}\}=L_ {r+s}+{1 \over 2}\left(rs\right)J_{r+s}+{c \over 6}\left(r^{2}-{1 \over 4}\right) \delta _{r+s,0}$

$\{G_{r}^{+},G_{s}^ {+}\}=0=\{G_{r}^{-},G_{s}^{-}\}$

$[L_{m},G_{r}^{\pm }]=\left({m \over 2}-r\right)G_{r+m}^{\pm }$

$[J_{m},G_{r}^{\pm }]=\pm G_{m+r}^{\pm }$

Om $r,s\in {\mathbb {Z} }$ i dessa relationer, ger detta N = 2 Ramond-algebra ; medan om ${\textstyle r,s\in {1 \over 2}+{\mathbb {Z} }}$ är halvheltal, ger det N = 2 Neveu–Schwarz algebra . Operatörerna $L_{n}$ genererar en Lie subalgebra som är isomorf till Virasoro algebra . Tillsammans med operatorerna $G_{r}=G_{r}^{+}+G_{r}^{-}$ genererar de en Lie superalgebra som är isomorf till super Virasoro algebra , vilket ger Ramond algebra om $r,s$ är heltal och Neveu–Schwarz algebra annars. När den representeras som operatorer på ett komplext inre produktutrymme , tas ${\displaystyle c} för att fungera som multiplikation med en reell skalär, betecknad med samma bokstav och kallas den$ centrala laddningen , och den adjointstrukturen är som följer:

${L_{n}^{*}=L_{-n} ,\,\,J_{m}^{*}=J_{-m},\,\,(G_{r}^{\pm })^{*}=G_{-r}^{\mp } ,\,\,c^{*}=c}$

Egenskaper

• N = 2 Ramond och Neveu–Schwarz algebran är isomorfa genom spektralskiftisomorfismen $\alpha$ av Schwimmer & Seiberg (1987 ) :
  $$\alpha (L_{n})=L_{n}+{1 \over 2}J_{n}+{c \ över 24}\delta _{n,0}$$
  $$\alpha (J_{n})=J_{n}+{c \over 6}\delta _{n,0}$$
  $$\alpha (G_{r}^{\pm })=G_{r\pm {1 \över 2}}^{\pm }$$
  med invers:
  $$\alpha ^{-1}(L_{n})=L_{n}-{1 \over 2}J_ {n}+{c \over 24}\delta _{n,0}$$
  $$\alpha ^{-1}(J_{n})=J_{n}-{c \over 6}\delta _{n, 0}$$
  $$\alpha ^{-1}(G_{r}^{\pm })=G_{r\mp {1 \over 2}}^ {\pm }$$
• I N = 2 Ramond algebra, nolllägesoperatorerna $L_{0}$ , $J_{0}$ , $G_{0}^{\pm }$ och konstanterna bildar en femdimensionell Lie superalgebra. De uppfyller samma relationer som de fundamentala operatorerna i Kählers geometri , med $L_{0}$ som motsvarar laplacianen, $J_{0}$ gradoperatorn och $G_{0 }^{\pm }$ operatorerna $\partial$ och ${\overline {\partial }}$ .
• Även heltalspotenser för spektralskiftet ger automorfismer av N = 2 superkonforma algebror, kallade spektralskiftautomorfismer. En annan automorfism $\beta$ , av period två, ges av
  $$\beta (L_{m})=L_{m},$$
  $$\beta (J_{m})=-J_{m}-{c \over 3}\delta _{m,0},$$
  $$\beta (G_{r}^{\pm })=G_{r}^{\mp }$$
  När det gäller Kähler-operatorer motsvarar $\beta$ att konjugera den komplexa strukturen. Eftersom ${\displaystyle \beta \alpha \beta ^{-1}=\alpha ^{-1}} ,$ automorfismerna $\alpha ^{2}$ och $\beta$ genererar en grupp automorfismer av N = 2 superkonformal algebra som är isomorf till den oändliga dihedriska gruppen ${\mathbb {Z} }\r gånger {\mathbb {Z} }_{2 }$ .
• Vridna operatorer ${\textstyle {\mathcal {L}}_{n}=L_{n}+{1 \over 2}(n+1)J_{ n}}$ introducerades av Eguchi & Yang (1990) och uppfyller:
  $$[{\mathcal {L}}_{m},{\mathcal {L}}_{n}]=(mn){ \mathcal {L}}_{m+n}$$
  så att dessa operatorer uppfyller Virasoro-relationen med central laddning 0. Konstanten $c$ visas fortfarande i relationerna för $J_{m}$ och de modifierade relationerna
  $$[{\mathcal {L}}_{m},J_{n}]= -nJ_{m+n}+{c \över 6}\left(m^{2}+m\right)\delta _{m+n,0}$$
  $$\{G_{r}^{+}, G_{s}^{-}\}=2{\mathcal {L}}_{r+s}-2sJ_{r+s}+{c \over 3}\left(m^{2}+m\ höger)\delta _{m+n,0}$$

Konstruktioner

Gratis fältkonstruktion

Green, Schwarz & Witten (1988) ger en konstruktion med två pendlande verkliga bosoniska fält $(a_{n})$ , $( b_{n})$

${[a_{m},a_{n}]={m \över 2}\delta _{m+n,0},\,\,\,\,[b_{m},b_{n}]= {m \över 2}\delta _{m+n,0}},\,\,\,\,a_{n}^{*}=a_{-n},\,\,\,\,b_ {n}^{*}=b_{-n}$

och ett komplext fermioniskt fält $(e_{r})$

$\{e_{r},e_{s}^{*}\}=\delta _{r ,s},\,\,\,\,\{e_{r},e_{s}\}=0.$

$L_{n}$ definieras till summan av de Virasoro-operatorer som naturligt är associerade med vart och ett av de tre systemen

$L_{n }=\summa _{m}:a_{-m+n}a_{m}:+\summa _{m}:b_{-m+n}b_{m}:+\summa _{r}\vänster (r+{n \over 2}\right):e_{r}^{*}e_{n+r}:$

där normal ordning har använts för bosoner och fermioner.

Den nuvarande operatorn $J_{n}$ definieras av standardkonstruktionen från fermioner

$J_{n}=\summa _{r}:e_{r}^{*}e_{n+r}:$

och de två supersymmetriska operatorerna $G_{r}^{\pm }$ med

$G_{r}^ {+}=\summa (a_{-m}+ib_{-m})\cdot e_{r+m},\,\,\,\,G_{r}^{-}=\summa (a_{ r+m}-ib_{r+m})\cdot e_{m}^{*}$

Detta ger en N = 2 Neveu–Schwarz-algebra med c = 3.

SU(2) supersymmetrisk coset-konstruktion

Di Vecchia et al. (1986) gav en sammansättningskonstruktion av N = 2 superkonforma algebror, och generaliserade cosetkonstruktionerna av Goddard , Kent & Olive (1986) för de diskreta serierepresentationerna av Virasoro och super Virasoro algebra. Givet en representation av den affina Kac–Moody algebra för SU(2) på nivå $\ell$ med basen $E_{n},F_{n},H_{n }$ tillfredsställande

$[H_{m},H_{n}]=2m\ell \delta _{n+m,0},$

$[E_{m},F_{n}]=H_{m+n}+m\ell \delta _{m+n ,0},$

$[H_{m},E_{n}]=2E_{m+n},$

$[H_{m},F_{n}]=-2F_{m+n},$

de supersymmetriska generatorerna definieras av

$G_{r}^{+}=(\ell /2+1)^{-1/2}\sum E_{-m}\cdot e_{m+r},\,\,\,G_ {r}^{-}=(\ell /2+1)^{-1/2}\summa F_{r+m}\cdot e_{m}^{*}.$

Detta ger N=2 superkonformal algebra med

$c=3\ell /(\ell +2).$

Algebra pendlar med de bosoniska operatorerna

$X_{n}=H_{n}-2\sum _{r}:e_{r}^{*}e_{n+r}:.$

Rummet av fysiska tillstånd består av egenvektorer av $X_{0}$ som samtidigt förintas av $X_{n}$ för positiva $n$ och superladdningsoperatorn

$Q=G_{1/2}^{+}+G_{-1/2}^{-}$ (Neveu–Schwarz)

$Q=G_{0}^{+}+G_{0}^{-}.$ (Ramond)

Överladdningsoperatören pendlar med verkan av den affina Weyl-gruppen och de fysiska tillstånden ligger i en enda omloppsbana av denna grupp, ett faktum som antyder Weyl- Kac-teckenformeln .

Kazama–Suzuki supersymmetrisk cosetkonstruktion

Kazama & Suzuki (1989) generaliserade SU(2) coset-konstruktionen till vilket par som helst som består av en enkel kompakt Lie-grupp $G$ och en sluten undergrupp $H$ med maximal rang, dvs innehållande en maximal torus $T$ av $G$ , med det ytterligare villkoret att dimensionen för mitten av $H$ är icke-noll. I detta fall är det kompakta hermitiska symmetriska utrymmet $G/H$ ett Kähler-grenrör, till exempel när $H=T$ . De fysiska tillstånden ligger i en enda omloppsbana av den affina Weyl-gruppen, vilket återigen antyder Weyl-Kac-teckenformeln för den affina Kac-Moody-algebran för $G$ .

Se även

• Virasoro algebra
• Super Virasoro algebra
• Coset konstruktion
• Typ IIB strängteori

Anteckningar

• Ademollo, M.; Brink, L.; D'Adda, A.; D'Auria, R.; Napolitano, E.; Sciuto, S.; Giudice, E. Del; Vecchia, P. Di; Ferrara, S.; Gliozzi, F.; Musto, R.; Pettorino, R. (1976), "Supersymmetric strings and color confinement" , Physics Letters B , 62 (1): 105–110, Bibcode : 1976PhLB...62..105A , doi : 10.1016/0370-2693 90061-7
• Boucher, W.; Friedan, D ; Kent, A. (1986), "Determinantformler och enhetlighet för N = 2 superkonforma algebror i två dimensioner eller exakta resultat vid strängkomprimering", Phys. Lett. B , 172 (3–4): 316–322, Bibcode : 1986PhLB..172..316B , doi : 10.1016/0370-2693(86)90260-1
• Di Vecchia, P.; Petersen, JL; Yu, M.; Zheng, HB (1986), "Explicit konstruktion av enhetliga representationer av N = 2 superkonformal algebra", Phys. Lett. B , 174 (3): 280–284, Bibcode : 1986PhLB..174..280D , doi : 10.1016/0370-2693(86)91099-3
• Eguchi, Tohru; Yang, Sung-Kil (1990), " N = 2 superkonforma modeller som topologiska fältteorier", Mod. Phys. Lett. A , 5 (21): 1693–1701, Bibcode : 1990MPLA....5.1693E , doi : 10.1142/S0217732390001943
•   Goddard, P .; Kent, A.; Olive, D. (1986), "Unitary representations of the Virasoro and super-Virasoro algebras", Comm . Matematik. Phys. , 103 (1): 105–119, Bibcode : 1986CMaPh.103..105G , doi : 10.1007/bf01464283 , S2CID 91181508
•   Green, Michael B .; Schwarz, John H .; Witten, Edward (1988a), Superstring theory, Volym 1: Introduktion , Cambridge University Press, ISBN 0-521-35752-7
•   Green, Michael B .; Schwarz, John H .; Witten, Edward (1988b), Superstring theory, Volym 2: Loop amplitudes, anomalies and phenomenology , Cambridge University Press, Bibcode : 1987cup..bookR....G , ISBN 0-521-35753-5
• Kazama, Yoichi; Suzuki, Hisao (1989), "New N = 2 superconformal field theories and superstring compactification", Nuclear Physics B , 321 (1): 232–268, Bibcode : 1989NuPhB.321..232K , doi : 10.1053(32016/320) 89)90250-2
• Schwimmer, A.; Seiberg, N. (1987), "Comments on the N = 2, 3, 4 superconformal algebras in two dimensions", Phys. Lett. B , 184 (2–3): 191–196, Bibcode : 1987PhLB..184..191S , doi : 10.1016/0370-2693(87)90566-1
•   Voisin, Claire (1999), Mirror symmetry , SMF/AMS-texter och monografier, vol. 1, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1947-X
• Wassermann, AJ (2010) [1998]. "Föreläsningsanteckningar om Kac-Moody och Virasoro algebras". arXiv : 1004.1287 .
•   West, Peter C. (1990), Introduktion till supersymmetri och supergravitation (2:a upplagan), World Scientific, s. 337–8, ISBN 981-02-0099-4