Spray (matematik)

I differentialgeometri är en spray ett vektorfält H på tangentknippet TM som kodar ett kvasilinjärt andra ordningens system av vanliga differentialekvationer på basgrenröret M. Vanligtvis krävs att en spray är homogen i den meningen att dess integralkurvor t →Φ _H ^t (ξ)∈ TM följer regeln Φ _H ^t (λξ)=Φ _H ^λt (ξ) i positiva omparameteriseringar. Om detta krav tas bort kallas H en semispray .

Sprayer uppstår naturligt i Riemann- och Finsler-geometrin som de geodetiska sprayerna vars integralkurvor är just tangentkurvorna för lokalt längdminimerande kurvor. Semisprayer uppstår naturligt som de extrema kurvorna för aktionsintegraler i lagrangisk mekanik . Genom att generalisera alla dessa exempel inducerar vilken som helst (eventuellt olinjär) anslutning på M en semispray H och omvänt inducerar vilken semispray H som helst en torsionsfri olinjär koppling på M . Om den ursprungliga kopplingen är vridningsfri sammanfaller den med kopplingen inducerad av H , och homogena vridningsfria kopplingar är i en-till-en-överensstämmelse med fulla sprayer.

Formella definitioner

Låt M vara ett differentierbart grenrör och ( TM ,π _TM , M ) dess tangentknippe. Då är ett vektorfält H på TM (det vill säga en sektion av dubbeltangensbunten TTM ) en semispray på M , om något av de tre följande ekvivalenta villkoren gäller:

• (πTM ₎ * _Hξ = ξ _.
• JH = V , där J är tangentstrukturen på TM och V är det kanoniska vektorfältet på TM \0.
• j ∘ H = H , där j : TTM → TTM är den kanoniska vändningen och H ses som en avbildning TM → TTM .

En semispray H på M är en (full) spray om något av följande likvärdiga villkor gäller:

• H _λξ = λ _* (λ H _ξ ), där λ _* : TTM → TTM är framskjutningen av multiplikationen λ: TM → TM med en positiv skalär λ>0.
• Lie-derivatan av H längs det kanoniska vektorfältet V uppfyller [ V , H ]= H.
• Integralkurvorna t →Φ _H ^t (ξ)∈ TM \0 för H uppfyller Φ _H ^t (λξ)=λΦ _H ^λt (ξ) för vilken λ>0 som helst.

Låt ${i})}$$( x^{i}$ vara de lokala koordinaterna på $TM$ associerade med de lokala koordinaterna ) på $M$ med hjälp av koordinatbasen på varje tangentrum. Då är $H$ en semispray på $M$ om den har en lokal representation av formen

$H_{\xi }=\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big |}_{(x,\xi )}-2G^{ i}(x,\xi){\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}{\Big |}_{(x,\xi)}.$

på varje tillhörande koordinatsystem på TM . Semisprayen H är en (full) spray, om och endast om spraykoefficienterna G ⁱ uppfyller

${\displaystyle G^{i}(x,\lambda \xi )=\lambda ^{2}G^$

Semisprayer i lagrangisk mekanik

Ett fysiskt system modelleras i lagrangemekanik av en lagrangisk funktion L : TM → R på tangentbunten av något konfigurationsutrymme M . Den dynamiska lagen erhålls från Hamiltons princip, som säger att tidsutvecklingen γ:[ a , b ]→ M för systemets tillstånd är stationär för aktionsintegralen

${\mathcal {S}}(\gamma ):=\int _{a}^{b} L(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))dt$ .

I de tillhörande koordinaterna på TM lyder den första varianten av aktionsintegralen som

${\frac {d}{ds}}{\Big |}_{s=0}{\mathcal {S}}(\gamma _{s})={\Big |}_{a} ^{b}{\frac {\partial L}{\partial \xi ^{i}}}X^{i}-\int _{a}^{b}{\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{j}\partial \xi ^{i}}}{\ddot {\gamma }}^{j}+{\frac {\partial ^{2}L} {\partial x^{j}\partial \xi ^{i}}}{\dot {\gamma }}^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{ \Big )}X^{i}dt,$

₀ där X :[ a , b ]→ R är variationsvektorfältet associerat med variationen ys _: [ a , b ]→ M runt y( t ) = y ( t ). Denna första variantformel kan omarbetas i en mer informativ form genom att introducera följande begrepp:

• Kovektorn $\alpha _{\xi }=\alpha _{i}(x,\xi )dx^{i}|_{x}\in T_{x}^{*}M$ med $\alpha _{i}(x,\xi )={\tfrac {\partial L}{\partial \xi ^ {i}}}(x,\xi )$ är det konjugerade momentumet för $\xi \in T_{x}M$ .
• Den motsvarande enformen ${\displaystyle \alpha \in \Omega ^{1}(TM)$ med $\alpha _{\xi }=\alpha _{i}(x,\xi )dx^{i}|_{(x,\xi )}\ i T_{\xi }^{*}TM$ är Hilbert-formen associerad med Lagrangian.
• Den bilinjära formen $g_{\xi }=g_{ij}(x,\xi )(dx^{i}\otimes dx^{j})|_{x}$ med $g_{ij}(x,\xi )={\tfrac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\ partiell \xi ^{j}}}(x,\xi )$ är grundtensorn för lagrangian vid $\xi \in T_{x}M$ .
• Lagrangianen uppfyller Legendre-villkoret om grundtensorn $\displaystyle g_{\xi }$ är icke-degenererad vid varje $\xi \in T_{x}M$ . Då betecknas den inversa matrisen för ${\displaystyle \displaystyle g_{ij}(x,\xi )} med$$\displaystyle g^{ij} (x,\xi)$ .
• Energin associerad med Lagrangian är $}$${\displaystyle \displaystyle E(\xi )=\alpha _{\xi }(\xi )-L(\xi$ ) .

Om Legendre-villkoret är uppfyllt, då är d α∈Ω ² ( TM ) en symbolisk form och det finns ett unikt Hamiltonsk vektorfält H på TM som motsvarar Hamiltons funktion E så att

$\displaystyle dE=-\iota _{H}d\alpha$ .

Låt ( Xi , Yi ⁾ vara komponenterna i det Hamiltonska vektorfältet H i de associerade koordinaterna på TM ^. Sedan

$\iota _{H}d\alpha =Y^{ i}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}dx^{j}-X^{i}{\frac {\partial ^ {2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j}}}d\xi ^{j}$

och

$dE={\Big (} {\frac {\partial ^{2}L}{\partial x^{i}\partial \xi ^{j}}}\xi ^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^ {i}}}{\Big )}dx^{i}+\xi ^{j}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \xi ^{i}\partial x^{j} }}d\xi ^{i}$

så vi ser att det Hamiltonska vektorfältet H är en semispray på konfigurationsutrymmet M med spraykoefficienterna

$G^{k}(x,\xi )={\frac {g^{ki}}{2}}{\Big (}{\frac {\partial ^{2}L}{\partial \ xi ^{i}\partial x^{j}}}\xi ^{j}-{\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}{\Big )}.$

Nu kan den första variantformeln skrivas om som

${\frac {d}{ds}}{\Big |}_{s=0 }{\mathcal {S}}(\gamma _{s})={\Big |}_{a}^{b}\alpha _{i}X^{i}-\int _{a}^{ b}g_{ik}({\ddot {\gamma }}^{k}+2G^{k})X^{i}dt,$

och vi ser γ[ a , b ]→ M är stationär för aktionsintegralen med fasta ändpunkter om och endast om dess tangentkurva γ':[ a , b ]→ TM är en integralkurva för det Hamiltonska vektorfältet H . Därför beskrivs dynamiken i mekaniska system av halvsprej som härrör från aktionsintegraler.

Geodesisk spray

Huvudartikel: Geodesisk spray

Ytterligare information: Geodesiskt flöde

De lokalt längdminimerande kurvorna för Riemannska och Finslers grenrör kallas geodetik . Med hjälp av lagrangemekanikens ramverk kan man beskriva dessa kurvor med spraystrukturer. Definiera en lagrangisk funktion på TM med

$L(x,\xi )={\tfrac {1}{2}}F^{2}(x,\xi ),$

där F : TM → R är Finsler-funktionen . I det Riemannska fallet använder man F ² ( x ,ξ) = g _ij ( x )ξ ⁱ ξ ^j . Introducera nu begreppen från avsnittet ovan. I det Riemannska fallet visar det sig att den fundamentala tensorn g _ij ( x ,ξ) helt enkelt är den Riemannska metriska g _ij ( x ). I det allmänna fallet homogenitetsvillkoret

$F(x,\lambda \xi )=\lambda F(x,\xi ),\quad \lambda >0$

av Finsler-funktionen innebär följande formler:

$\alpha _{i}=g_{ij}\xi ^{i},\quad F^{2}=g_{ij}\xi ^{i}\xi ^{j},\quad E= \alpha _{i}\xi ^{i}-L={\tfrac {1}{2}}F^{2}.$

mekanisk anger den sista ekvationen att all energi i systemet ( M , L ) är i kinetisk form. Vidare får man homogenitetsegenskaperna

$g_{ij}(\lambda \xi )=g_{ij}(\xi ),\quad \alpha _{i}(x,\lambda \xi )=\lambda \alpha _{i} (x,\xi ),\quad G^{i}(x,\lambda \xi )=\lambda ^{2}G^{i}(x,\xi ),$

varav den sista säger att det Hamiltonska vektorfältet H för detta mekaniska system är en full spray. Geodesiken med konstant hastighet för det underliggande Finsler (eller Riemannian) grenröret beskrivs av denna spray av följande skäl:

• Eftersom g _ξ är positivt definitivt för Finsler-utrymmen, är varje tillräckligt kort stationär kurva för den funktionella längden längdminimerande.
• Varje stationär kurva för aktionsintegralen har konstant hastighet $F(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))= \lambda$ , eftersom energin automatiskt är en rörelsekonstant.
• För varje kurva $\gamma :[a,b]\to M$ med konstant hastighet är aktionsintegralen och längden funktionella relaterade till

${\mathcal {S}}(\gamma )={\frac {(ba)\lambda ^{2}}{2}}={\frac {\ell (\gamma )^{2}}{ 2(ba)}}.$

Därför är en kurva $\gamma :[a,b]\to M$ stationär till aktionsintegralen om och endast om den har konstant hastighet och stationär i förhållande till längden funktionell. Det Hamiltonska vektorfältet H kallas Finslers grenrörs geodetiska spray ( M , F ) och motsvarande flöde Φ _H ^t (ξ) kallas det geodetiska flödet .

Korrespondens med olinjära kopplingar

En semispray $H$ på ett jämnt grenrör $M$ definierar en Ehresmann-anslutning $\displaystyle T(TM$ på spalttangensbunten genom dess horisontella och vertikala projektioner

$H}J{\big )},}$

${\displaystyle h:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0)\quad ;\quad h={\tfrac {1}{2}} {\big (}I-{\$

$v:T(TM\setminus 0)\to T(TM\setminus 0)\quad ;\quad v={\tfrac {1}{2}}{\big (}I+{\mathcal {L} }_{H}J{\big )}.$

Denna anslutning på TM \0 har alltid en försvinnande torsionstensor, som definieras som Frölicher-Nijenhuis-fästet T =[ J , v ]. I mer elementära termer kan torsion definieras som

$\displaystyle T(X,Y)=J[hX,hY]-v[JX,hY)-v[hX,JY].$

Genom att introducera det kanoniska vektorfältet V på TM \0 och den adjointstruktur Θ för den inducerade anslutningen kan den horisontella delen av semisprayen skrivas som hH =Θ V . Den vertikala delen ε= vH av semisprayen är känd som den första sprayinvarianten , och semisprayen H själv sönderdelas till

$\displaystyle H=\Theta V+\epsilon .$

Den första sprayinvarianten är relaterad till spänningen

$\tau ={\mathcal {L}}_{V}v={\tfrac {1}{2}}{\mathcal { L}}_{[V,H]-H}J$

av den inducerade icke-linjära förbindelsen genom den ordinarie differentialekvationen

${\mathcal {L}}_{V}\epsilon +\epsilon =\tau \Theta V.$

Därför kan den första sprayinvarianten ε (och därmed hela semi-sprayen H ) återvinnas från den icke-linjära anslutningen genom att

$\epsilon |_{\xi }=\int \limits _{-\infty }^{0}e^{-s}(\Phi _{V}^{-s})_{*}( \tau \Theta V)|_{\Phi _{V}^{s}(\xi )}ds.$

Av detta förhållande ser man också att den inducerade kopplingen är homogen om och endast om H är en full spray.

Jacobi fält av sprayer och semisprays

En bra källa för Jacobi-fält för semisprays är avsnitt 4.4, Jacobi-ekvationer av en semispray i den allmänt tillgängliga boken Finsler-Lagrange Geometry av Bucătaru och Miron. Särskilt anmärkningsvärt är deras koncept med en dynamisk kovariansderivata . I en annan artikel relaterar Bucătaru, Constantinescu och Dahl detta koncept till det för Kosambi-operatorn med två derivator .

För en bra introduktion till Kosambis metoder, se artikeln Vad är Kosambi-Cartan-Chern teori? .

• Sternberg, Shlomo (1964), Lectures on Differential Geometry , Prentice-Hall .
• Lang, Serge (1999), Fundamentals of Differential Geometry , Springer-Verlag .