Komonotonicitet

I sannolikhetsteorin hänvisar comonotonicity huvudsakligen till det perfekta positiva beroendet mellan komponenterna i en slumpmässig vektor , vilket i huvudsak säger att de kan representeras som ökande funktioner av en enda slumpmässig variabel . I två dimensioner är det också möjligt att betrakta perfekt negativt beroende, vilket kallas kontramonotonicitet.

Komonotonicitet är också relaterad till den komonotoniska additiviteten hos Choquet-integralen .

Begreppet comonotonicity har tillämpningar inom finansiell riskhantering och aktuarievetenskap , se t.ex. Dhaene et al. (2002a) och Dhaene et al. (2002b) . Speciellt summan av komponenterna $X 1 + X 2 + \cdot \cdot \cdot + X n$ är den mest riskfyllda om den gemensamma sannolikhetsfördelningen för den slumpmässiga vektorn ( $X 1, X 2, . . . . , X n .$ ) är sammonotonisk Dessutom är $α$ - kvantilen av summan lika med summan av $α$ -kvantiler av dess komponenter, därför är komonotoniska slumpvariabler kvantiladditiva. I praktiska riskhanteringstermer betyder det att det finns minimal (eller så småningom ingen) variansminskning från diversifiering.

För förlängningar av komonotonicitet, se Jouini & Napp (2004) och Puccetti & Scarsini (2010) .

Definitioner

Samonotonicitet för delmängder av $R n$

En delmängd $S$ av $Rn)$ kallas sammonotonisk (ibland även icke-minskande ) om, för alla $(x 1, x 2, . . . . , n) och$ $y 1, y 2, . . . , y n x$ ( i $S$ med $x i < y i$ för vissa $i \in {1, 2, . . . , n$ }, det följer att $x j \leq y j$ för alla $j \in {1, 2, . . . , n$ }.

Det betyder att $S$ är ett helt ordnat set .

Sammonotonicitet för sannolikhetsmått på $R n$

Låt $μ$ vara ett sannolikhetsmått på det $n$ - dimensionella euklidiska rummet $R n$ och låt $F$ beteckna dess multivariata kumulativa fördelningsfunktion , dvs.

F(x_{1},\ldots ,x_{n}):=\mu {\bigl (}\{(y_{1},\ldots,y_{n})\in {\mathbb {R } }^{n}\mid y_{1}\leq x_{1},\ldots ,y_{n}\leq x_{n}\}{\bigr )},\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}.

Vidare, låt $F 1, . . . , F n$ betecknar de kumulativa fördelningsfunktionerna för de $n$ endimensionella marginalfördelningarna av $μ$ , det betyder

F_{i}(x):=\mu {\bigl (}\{(y_{1},\ldots ,y_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}\mid y_{i}\leq x\}{\bigr )},\qquad x\in {\mathbb {R} }

för varje $i \in {1, 2, . . . , n$ }. Då kallas $μ$ komonotonisk , if

F(x_{1},\ldots,x_{n})=\min _{i\in \{1,\ldots ,n\}}F_{i}(x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}.

Observera att sannolikhetsmåttet $μ$ är sammonotoniskt om och endast om dess stöd $S$ är sammonotoniskt enligt definitionen ovan.

Sammonotonicitet för $Rn -$ värderade slumpmässiga vektorer

En $R n$ -värderad slumpmässig vektor $X = (X 1, . . . . , X n)$ kallas komonotonisk , om dess multivariatfördelning ( det framåtskjutande måttet ) är sammonotoniskt betyder detta

\Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})=\min _{i\in \{1,\ldots ,n\}} \Pr(X_{i}\leq x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n}.

Egenskaper

En $R n$ -värderad slumpmässig vektor $X = (X 1, . . . . . . . X n)$ är sammonotonisk om och endast om den kan representeras som

(X_{1},\ldots ,X_{n}) =_{\text{d}}(F_{X_{1}}^{-1}(U),\ldots ,F_{X_{n}}^{-1}(U)),\,

där $= d$ står för jämlikhet i distribution, på höger sida finns de vänsterkontinuerliga generaliserade inverserna av de kumulativa fördelningsfunktionerna $F X 1, . . . , F X n$ och $U$ är en likformigt fördelad slumpvariabel på enhetsintervallet . Mer generellt är en slumpmässig vektor sammonotonisk om och endast om den överensstämmer i distribution med en slumpmässig vektor där alla komponenter är icke-minskande funktioner (eller alla är icke-ökande funktioner) av samma slumpmässiga variabel.

Övre gränser

Upper Fréchet–Hoeffding bunden för kumulativa distributionsfunktioner

Låt $X = (X1, . . . , Xn -)$ vara en $Rn värderad$ slumpmässig vektor. Sedan, för varje $i \in {1, 2, . . . , n$ },

\Pr(X_{1}\ leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})\leq \Pr(X_{i}\leq x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{ n})\in {\mathbb {R} }^{n},

därav

_ \displaystyle \Pr(X_{1}\leq x_{1},\ldots ,X_{n}\leq x_{n})\leq \min _{i\in \{1,\ldots ,n\}} \Pr(X_{i}\leq x_{i}),\qquad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {R} }^{n},}

med jämlikhet överallt om och endast om $(X 1, . . . , X n)$ är sammonotonisk.

Övre gräns för kovariansen

Låt $(X, Y)$ vara en bivariat slumpmässig vektor så att de förväntade värdena för $X$ , $Y$ och produkten $X Y$ existerar. Låt $(X *, Y *)$ vara en komonotonisk bivariat slumpmässig vektor med samma endimensionella marginalfördelningar som $(X, Y)$ . Sedan följer det av Höffdings formel för kovariansen och den övre Fréchet–Hoeffding-gränsen att

{\text{Cov}}(X,Y)\leq {\text{Cov}}(X^{*},Y^{* })

och på motsvarande sätt,

\operatörsnamn {E} [XY]\leq \operatörsnamn {E} [X^{*}Y^{*}]

med likhet om och endast om $(X, Y)$ är sammonotonisk.

Observera att detta resultat generaliserar omarrangeringsojämlikheten och Chebyshevs summaolikhet .

Se även

Copula (sannolikhetsteori)

Anteckningar

Citat

Dhaene, Jan; Denuit, Michel; Goovaerts, Marc J.; Vyncke, David (2002a), "The concept of comonotonicity in actuarial science and finance: theory" (PDF) , Insurance: Mathematics & Economics , 31 (1): 3–33, doi : 10.1016/s0167-6681(0042)000 -8 , MR 1956509 , Zbl 1051.62107 , arkiverad från originalet (PDF) 2008-12-09 , hämtad 2012-08-28
Dhaene, Jan; Denuit, Michel; Goovaerts, Marc J.; Vyncke, David (2002b), "The concept of comonotonicity in actuarial science and finance: applications" (PDF) , Insurance: Mathematics & Economics , 31 (2): 133–161, CiteSeerX 10.1.1.10.789 , doi : 610/10 :610 s0167-6687(02)00135-x , MR 1932751 , Zbl 1037.62107 , arkiverad från originalet (PDF) 2008-12-09 , hämtad 2012-08-28
Jouini, Elyès; Napp, Clotilde (2004), " Conditional comonotonicity" (PDF) , Decisions in Economics and Finance , 27 (2): 153–166, doi : 10.1007 / s10203-004-0049 -y , ISSN 82 1593-8 Zbl 1063.60002
Kaas, Rob; Dhaene, Jan; Vyncke, David; Goovaerts, Marc J.; Denuit, Michel (2002), "Ett enkelt geometriskt bevis på att sammonotoniska risker har den konvexa största summan" ( PDF) , ASTIN Bulletin , 32 (1): 71–80, doi : 10.2143/ast.32.1.1015 , MR 492801 , Zbl 1061.62511
McNeil, Alexander J.; Frey, Rüdiger; Embrechts, Paul (2005), Kvantitativ riskhantering. Concepts, Techniques and Tools , Princeton Series in Finance, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12255-7 , MR 2175089 , Zbl 1089.91037
Nelsen, Roger B. (2006), An Introduction to Copulas , Springer Series in Statistics (andra upplagan), New York: Springer , s. xiv+269, ISBN 978-0-387-28659-4 , MR 2197664 , Zbl 1152.62030
Puccitti, Giovanni; Scarsini, Marco (2010), "Multivariate comonotonicity" (PDF) , Journal of Multivariate Analysis , 101 (1): 291–304, doi : 10.1016/j.jmva.2009.08.003 , ISSN 5 9X47-2, ZMR 5 9X47-2 , 7bl 5 9047 1184.62081
Sriboonchitta, Songsak; Wong, Wing-Keung; Dhompongsa, Sompong; Nguyen, Hung T. (2010), Stochastic Dominance and Applications to Finance, Risk and Economics , Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 978-1-4200-8266-1 , MR 2590381 , Zbl 110100.91