Sophomores dröm

Inom matematik är andraårs dröm paret av identiteter (särskilt den första)

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\summa _{n =1}^{\infty }n^{-n}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=\summa _{n=1}^{\infty }( -1)^{n+1}n^{-n}=-\summa _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\end{aligned}}$

upptäcktes 1697 av Johann Bernoulli .

De numeriska värdena för dessa konstanter är ungefär 1,291285997... respektive 0,7834305107....

Namnet "andras dröm" står i motsats till namnet " nyårsdröm " som ges till den felaktiga identiteten ( x + y ) ⁿ = x ⁿ + y ⁿ . Sophomores dröm har en liknande för bra-för-att-vara-sann-känsla, men är sann .

Bevis

Graf över funktionerna y = x ^x (röd, nedre) och y = x ^{− x} (grå, övre) i intervallet x ∈ (0, 1].

Bevisen för de två identiteterna är helt analoga, så endast beviset för den andra presenteras här. De viktigaste ingredienserna i beviset är:

• att skriva x ^x = exp( x log x ) (med notationsloggen för den naturliga logaritmen och exp för exponentialfunktionen ;
• att expandera exp( x log x ) med hjälp av potensserien för exp; och
• att integrera termiskt, med hjälp av integration genom substitution .

I detaljer expanderar man x ^x som

$x^{x}=\exp(x\log x)=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}} {n!}}.$

Därför är $\int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\int _{0}^{1}\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {x ^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx.$

Genom enhetlig konvergens av potensserien kan man utbyta summering och integration för att ge avkastning

$\int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x ^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx.$

För att utvärdera ovanstående integraler kan man ändra variabeln i integralen via substitutionen $x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right).$ Med denna substitution transformeras integrationens gränser till $0<u <\infty ,$ som ger identiteten

$\int _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}\,dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+ 1)}\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du.$

Genom Eulers integrerade identitet för Gamma-funktionen har man

$\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du=n!,$

så att

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx=(-1)^{n}( n+1)^{-(n+1)}.$

Att summera dessa (och ändra indexeringen så att den börjar på n = 1 istället för n = 0) ger formeln.

Historiskt bevis

Det ursprungliga beviset, som ges i Bernoulli, och presenterat i moderniserad form i Dunham, skiljer sig från det ovan i hur termwise integralen $\int _{0}^{1 }x^{n}(\log x)^{n}\,dx$ beräknas, men är i övrigt densamma, och utelämnar tekniska detaljer för att motivera steg (som termwise integration). Istället för att integrera genom substitution, vilket ger Gamma-funktionen (som ännu inte var känd), använde Bernoulli integration av delar för att iterativt beräkna dessa termer.

Integreringen av delar fortskrider enligt följande, varvid de två exponenterna varieras oberoende för att erhålla en rekursion. En obestämd integral beräknas initialt och utelämnar integreringskonstanten $+C$ både för att detta gjordes historiskt och för att den försvinner vid beräkning av den bestämda integralen. Man kan integrera $\int x^{m}(\log x)^{n}\,dx$ genom att ta u = (log x ) ⁿ och dv = x ^m dx , vilket ger:

${\begin{aligned }\int x^{m}(\log x)^{n}\,dx&={\frac {x^{m+1}(\log x)^{n}}{m+1}}-{ \frac {n}{m+1}}\int x^{m+1}{\frac {(\log x)^{n-1}}{x}}\,dx\qquad {\text{( för }}m\neq -1{\text{)}}\\&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}(\log x)^{n}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\log x)^{n-1}\,dx\qquad {\text{(för }}m\neq -1{\text{) }}\end{aligned}}$

(även i listan över integraler av logaritmiska funktioner ). Detta minskar effekten på logaritmen i integranden med 1 (från $n$ till $n-1$ ) och därmed kan man beräkna integralen induktivt , som

$\int x^{m}(\log x)^{n}\,dx={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\cdot \sum _{i=0}^{ n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(m+1)^{i}}}(\log x)^{ni}$

där ( n )   _i betecknar den fallande faktorn ; det finns en ändlig summa eftersom induktionen stannar vid 0, eftersom n är ett heltal.

I detta fall är m = n , och de är heltal, alltså

$\int x^{n}(\log x)^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\cdot \sum _{i=0 }^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(n+1)^{i}}}(\log x)^{ni}.$

Genom att integrera från 0 till 1 försvinner alla termer utom den sista termen vid 1, vilket ger:

$\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx={\frac {1}{n! }}{\frac {1^{n+1}}{n+1}}(-1)^{n}{\frac {(n)_{n}}{(n+1)^{n} }}=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.$

Detta motsvarar att beräkna Eulers integralidentitet $\Gamma (n+1)=n!$ för Gamma-funktionen på en annan domän (motsvarande ändring av variabler genom substitution), eftersom Eulers identitet i sig också kan beräknas via en analog integration av delar.

Se även

• Serier (matematik)

Anteckningar

Formel

• Bernoulli, Johann (1697). Opera omnia . Vol. 3. s. 376–381.
•   Borwein, Jonathan ; Bailey, David H .; Girgensohn, Roland (2004). Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery . s. 4, 44. ISBN 9781568811369 .
•   Dunham, William (2005). "Kapitel 3: The Bernoullis (Johann och $x^{x}$ )". Calculus Gallery, mästerverk från Newton till Lebesgue . Princeton University Press. s. 46–51. ISBN 9780691095653 .
• OEIS , (sekvens A083648 i OEIS ) och (sekvens A073009 i OEIS )
•   Pólya, George ; Szegő, Gábor (1998), "Del I, problem 160", Problems and Theorems in Analysis , sid. 36 , ISBN 9783540636403
• Weisstein, Eric W. "Dröm för andra gången" . MathWorld .
• Max RP Grossmann (2017): Sophomores dröm. 1 000 000 siffror av den första konstanten

Fungera

• Litteratur för x^x och Sophomore's Dream , Tetration Forum, 2010-02-03
• The Coupled Exponential , Jay A. Fantini, Gilbert C. Kloepfer, 1998
• Sophomore's Dream Function , Jean Jacquelin, 2010, 13 s.
• Lehmer, DH (1985). "Siffror associerade med Stirling-tal och x ^x " . Rocky Mountain Journal of Mathematics . 15 (2): 461. doi : 10.1216/RMJ-1985-15-2-461 .
• Gould, HW (1996). "En uppsättning polynom associerade med de högre derivatorna av y = x ^x " . Rocky Mountain Journal of Mathematics . 26 (2): 615. doi : 10.1216/rmjm/1181072076 .

Fotnoter