Snurra ljusets vinkelmoment

Ljusets vinkelmoment ( SAM ) är den komponent av ljusets vinkelmoment som är associerad med kvantspinnet och rotationen mellan fotonens polarisationsfrihetsgrader .

Introduktion

Spinn är den grundläggande egenskapen som skiljer de två typerna av elementarpartiklar: fermioner med halvheltalsspinn och bosoner med heltalsspinn. Fotoner, som är ljusets kvanta, har länge känts igen som spin-1 gauge bosoner. Ljusets polarisering är allmänt accepterad som dess "inneboende" spinnfrihetsgrad. I fritt utrymme är dock endast två tvärgående polarisationer tillåtna. Således är fotonspinnet alltid bara kopplat till de två cirkulära polarisationerna. För att konstruera ljusets fulla kvantspinnoperator måste longitudinella polariserade fotonlägen införas.

Vänster och höger cirkulär polarisation och deras tillhörande vinkelmoment

En elektromagnetisk våg sägs ha cirkulär polarisation när dess elektriska och magnetiska fält roterar kontinuerligt runt strålens axel under utbredning. Den cirkulära polarisationen är vänster ( $\mathrm {L}$ ) eller höger ( $\mathrm {R}$ ) beroende på fältets rotationsriktning och, enligt den konvention som används: antingen från punkten för bild av källan eller mottagaren. Båda konventionerna används inom vetenskapen beroende på sammanhanget.

När en ljusstråle är cirkulärt polariserad, bär var och en av dess fotoner ett spin vinkelmoment (SAM) på $\pm \hbar$ , där $\hbar$ är den reducerade Planck-konstanten och ${\ displaystyle \pm }$ -tecknet är positivt för vänster och negativt för höger cirkulära polarisationer (detta antar konventionen från mottagarens synvinkel som oftast används inom optik ). Denna SAM är riktad längs strålens axel (parallell om positiv, antiparallell om negativ). Ovanstående figur visar den momentana strukturen av det elektriska fältet av vänster ( $\mathrm {L}$ ) och höger ( ${\displaystyle \mathrm {R} } )$ cirkulärt polariserat ljus i rymden. De gröna pilarna anger utbredningsriktningen .

De matematiska uttrycken som rapporteras under figurerna ger de tre elektriska fältkomponenterna i en cirkulärt polariserad plan våg som utbreder sig i z {\ $z}$ -riktningen, i komplex notation.

Matematiskt uttryck

Allmänt uttryck för spinns rörelsemängd är

$$\mathbf {S} ={\frac {1}{c}}\int d^{3}x\mathbf {\pi } \times \mathbf { A} ,$$

där $c$ är ljusets hastighet i fritt utrymme och $\mathbf {\pi }$ är det konjugerade kanoniska momentumet för vektorpotentialen $\mathbf {A}$ . Det allmänna uttrycket för ljusets omloppsrörelsemängd är

$$\mathbf {L} ={\frac {1}{c}}\int d^{3}x\pi ^{\mu } \mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } A_{\mu },$$

där $\mu =\{0,1,2,3\}$ anger fyra index för rumtiden och Einsteins summeringskonvention har tillämpats. Att kvantisera ljus, det grundläggande

likatidskommuteringsrelationer måste postuleras,

$$[A^{\mu }(\mathbf {x} ,t),\pi ^{\nu }(\mathbf {x} ',t)]=i\hbar cg^{\mu \nu }\delta ^{3}(\mathbf {x} -\mathbf { x} '),$$

$$[A^{\mu }( \mathbf {x} ,t),A^{\nu }(\mathbf {x} ',t)]=[\pi ^{\mu }(\mathbf {x} ,t),\pi ^{\ nu }(\mathbf {x} ',t)]=0,$$

där $\hbar$ är den reducerade Planck-konstanten och $g^{\mu \nu }={\rm { {diag}\{1,-1,-1,-1\}}}$ är den metriska tensorn för Minkowski-rymden .

Sedan kan man verifiera att både $\mathbf {S}$ och $\mathbf {L}$ uppfyller de kanoniska vinkelmomentkommutationsrelationerna

$$[S_{i},S_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}S_{k},$$

$$[L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k},$$

och de pendlar med varandra $[S_{i},L_{j}]=0$ .

Efter planvågsexpansionen kan fotonspinnet återuttryckas i en enkel och intuitiv form i vågvektorutrymmet

$$\mathbf {S} =\hbar \int d^{3}k{\hat {\phi}}_{\mathbf {k} }^{\dolk }\mathbf {\hat {s}} {\hat {\phi }}_{\mathbf {k} }$$

där kolumnvektorn ${\hat {\phi }}_{\mathbf {k} }=[ {\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1},{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2},{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,3}]^{T}$ är fältoperatorn för fotonen i våg-vektorrymden och $3\times 3$ matrisen

$$\mathbf {\hat {s}} =\summa _{\lambda =1}^{3}{\hat {s}} _{\lambda }\mathbf {\epsilon } (\mathbf {k} ,\lambda )$$

är spin-1-operatorn för fotonen med SO(3)-rotationsgeneratorerna

$${\hat {s}}_{1}={\begin{bmatrix }0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{bmatrix}},\qquad {\hat {s}}_{2}={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{bmatrix} },\qquad {\hat {s}}_{3}={\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},$$

och de två enhetsvektorerna ${\boldsymbol {\epsilon }}(\mathbf {k} ,1)\cdot \mathbf {k} ={\boldsymbol {\epsilon }}(\mathbf {k} ,2)\cdot \mathbf {k} =0$ betecknar de två tvärgående polarisationerna av ljus i fritt utrymme och enhetsvektor ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}(\mathbf {k} ,3)=\mathbf {k} /|\mathbf {k} |} anger den longitudinella polarisationen$ .

På grund av att den longitudinella polariserade fotonen och den skalära fotonen har varit involverade, är både $\mathbf {S}$ och $\mathbf {L}$ inte mätinvarianta. För att införliva mätinvariansen i fotonens vinkelmoment, måste en omsönderdelning av det totala QED -vinkelmomentet och Lorenz-mätartillståndet genomdrivas. Slutligen ges den direkt observerbara delen av spinn och orbital vinkelmoment av ljus av

$$\mathbf {S} ^{\rm {obs}}=i\hbar \int d^{3}k({\hat {a}}_{ \mathbf {k} ,2}^{\dolk }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}-{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}^{ \dolk }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2}){\frac {\mathbf {k} }{|\mathbf {k} |}}=\varepsilon _{0}\int d^{3}x\mathbf {E} _{\perp }\times \mathbf {A} _{\perp },$$

och

$$\mathbf {L} _{M}^{\rm {obs}}=\varepsilon _{0}\int d ^{3}xE_{\perp }^{j}\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } A_{\perp }^{j}$$

som återvinner vinkelmomentet för klassiskt tvärgående ljus. Här $\mathbf {E} _{\perp }$ ( $\mathbf {A} _{\perp }$ ) den tvärgående delen av det elektriska fältet ( vektorpotential ), $\varepsilon _{0}$ är vakuumpermittiviteten och vi använder SI-enheter .

Vi kan definiera annihilationsoperatorerna för cirkulärt polariserade transversella fotoner:

$${\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\mathrm {L} }={\ frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}-i{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2 }\höger),$$

$${\hat {a}}_{\mathbf {k} ,\mathrm {R} }={\ frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,1}+i{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,2 }\höger),$$

med polarisationsenhetsvektorer

$$\mathbf {e} (\mathbf {k} ,\mathrm {L})={\ frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\mathbf {e} (\mathbf {k} ,1)+i\mathbf {e} (\mathbf {k} ,2)\right],$$

$$\mathbf {e} (\mathbf {k} ,\mathrm {R} )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[\mathbf {e} (\mathbf {k} ,1)-i\mathbf {e} (\mathbf {k} ,2)\right].$$

Sedan kan det tvärgående fältets fotonspinn återuttryckas som

$$\mathbf {S} ^{\rm {obs}}=\int d^{3}k\hbar \left({\hat {a}}_{\mathbf {k} ,L}^{ \dolk }{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,L}-{\hat {a}}_{\mathbf {k} ,R}^{\dolk }{\hat {a}} _{\mathbf {k} ,R}\right){\frac {\mathbf {k} }{|\mathbf {k} |}},$$

För en enkel planvågsfoton kan spinnet bara ha två värden ${\displaystyle \pm \hbar } ,$ som är egenvärden för spinnoperatorn $}$${\displaystyle {\hat {s}}_$ {3} . Motsvarande egenfunktioner som beskriver fotoner med väldefinierade värden på SAM beskrivs som cirkulärt polariserade vågor:

$$|\pm \rangle ={\begin{pmatrix}1\\\pm i\\0\end{pmatrix}}.$$

Se även

• Helmholtz ekvation
• Orbital vinkelmoment av ljus
• Fotonpolarisering
• Spin polarisering

Vidare läsning

•   Born, M. & Wolf, E. (1999). Principer för optik: Elektromagnetisk teori om utbredning, interferens och diffraktion av ljus ( 7:e upplagan). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-64222-4 .
•   Allen, L.; Barnnet, Stephen M. & Padgett, Miles J. (2003). Optiskt vinkelmoment . Bristol: Institute of Physics. ISBN 978-0-7503-0901-1 .
•   Torres, Juan P. & Torner, Lluis (2011). Twisted Photons: Applikationer av ljus med orbital vinkelmoment . Bristol: Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40907-5 .