Smidig algebra

I algebra sägs en kommutativ k -algebra A vara 0-jämn om den uppfyller följande lyftegenskap: givet en k - algebra C , ett ideal N för C vars kvadrat är noll och en k -algebrakarta $u:A\to C/N$ , det finns en k -algebrakarta $v:A\to C$ så att u är v följt av den kanoniska kartan. Om det finns högst ett sådant lyft v sägs A vara 0-unramified (eller 0-neat ). A sägs vara 0-étale om den är 0-slät och 0-unramified . Begreppet 0-jämnhet kallas också formell jämnhet .

En ändligt genererad k -algebra A är 0-jämn över k om och endast om Spec A är ett jämnt schema över k .

En separerbar algebraisk fältförlängning L av k är 0-étale över k . Den formella potensserieringen $k[\![t_{1},\ldots ,t_{n}]\!]$ är 0-jämn endast när $\operatorname {char} k=p>0$ och $[k:k^{p}]<\infty$ (dvs k har en ändlig p -bas .)

Jag -släta

Låt B vara en A -algebra och anta att B ges den I -adiska topologin, I ett ideal för B . Vi säger att B är I -jämn över A om den uppfyller lyftegenskapen: givet en A -algebra C , en ideal N för C vars kvadrat är noll och en A -algebrakarta $u: B\to C/N$ som är kontinuerlig när $C/N$ ges den diskreta topologin , det finns en A -algebrakarta $v:B\to C$ såsom att u är v följt av den kanoniska kartan. Som tidigare, om det finns högst ett sådant lyft v , så sägs B vara I -unramified över A (eller I -neat ). B sägs vara I -étale om det är I -smooth och I -unramified . Om I är nollidealet och A är ett fält , sammanfaller dessa begrepp med 0-slät etc. som definierats ovan.

Ett standardexempel är detta: låt A vara en ring , $B=A[\![t_{1},\ldots ,t_{n}]\ !]$ och $I=(t_{1},\ldots ,t_{n}).$ Då är B I -slät över A .

Låt A vara en nothersk lokal k -algebra med maximal ideal ${\mathfrak {m}}$ . Då är A ${\mathfrak {m}}$ -slät över $k$ om och bara om $A\otimes _{k}k'$ är en vanlig ring för alla finita förlängningsfält $k'$ av $k$ .

Se även

Matsumura, H. (1989). Kommutativ ringteori . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Översatt av Reid, M. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-36764-6 .