Slinga integral

I kvantfältteori och statistisk mekanik är slingintegraler de integraler som visas när man utvärderar Feynman-diagrammen med en eller flera slingor genom att integrera över det interna momentan . Dessa integraler används för att bestämma mottermer, som i sin tur tillåter utvärdering av betafunktionen , som kodar beroendet av kopplingen $g$ för en interaktion på en energiskala $\mu$ .

Enslinga integral

Generisk formel

En generisk en-loop-integral, till exempel de som förekommer i en-loop-renormalisering av QED eller QCD , kan skrivas som en linjär kombination av termer i formen

$\int {\ frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {k_{\mu _{1}}\cdots k_{\mu _{n}}}{((k +q_{1})^{2}+m_{1}^{2})\cdots ((k+q_{b})^{2}+m_{b}^{2})}}$

där $q_{i}$ är 4-momenta som är linjära kombinationer av externa momentan, och m $\displaystyle m_{i}}$ är massor av interagerande partiklar. Detta uttryck använder euklidisk signatur. I Lorentzisk signatur skulle nämnaren istället vara en produkt av uttryck av formen $(k+q)^{2}-m^{2}+i\epsilon$ .

Med Feynman parametrisering kan detta skrivas om som en linjär kombination av integraler av formen

$\int {\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d} }}{\frac {l_{\mu _{1}}\cdots l_{\mu _{n}}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}},$

där 4-vektorn $l$ och $\Delta$ är funktioner av $q_{i},m_{i}$ och Feynman-parametrarna. Denna integral är också integrerad över Feynman-parametrarnas domän. Integralen är en isotrop tensor och kan därför skrivas som en isotrop tensor utan $l$ -beroende (men möjligen beroende av dimensionen $d$ ), multiplicerad med integralen

$\int {\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2 }+\Delta )^{b}}}.$

Observera att om $n$ var udda, så försvinner integralen, så vi kan definiera $n=2a$ .

Regulering av integralen

Cutoff-regularisering

I Wilsonsk renormalisering görs integralen finit genom att specificera en cutoff-skala $\Lambda >0$ . Integralen som ska utvärderas är då

$\int ^{\Lambda }{\frac {d^{d}l}{(2\pi ) ^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^{2}+\Delta )^{b}}},$

där $\int ^{\Lambda }$ är förkortning för integration över domänen $\{l\in \mathbb {R} ^{d}:|l|<\Lambda \}$ . Uttrycket är ändligt, men i allmänhet som ${\displaystyle \Lambda \rightarrow \infty } ,$ divergerar uttrycket.

Dimensionell regularisering

Integralen utan momentum cutoff kan utvärderas som

$I_{d}(b,a,\Delta ):=\int _{\mathbb { R} ^{d}}{\frac {d^{d}l}{(2\pi )^{d}}}{\frac {(l^{2})^{a}}{(l^ {2}+\Delta )^{b}}}={\frac {1}{(4\pi )^{d/2}}}{\frac {1}{\Gamma (d/2)}} B\left(ba-{\frac {d}{2}},a+{\frac {d}{2}}\right)\Delta ^{-(bad/2)},$

där $B$ är betafunktionen . För beräkningar i omnormaliseringen av QED eller QCD tar ${\displaystyle a} värden$$0,1$ och $2}$ .

För loopintegraler i QFT har $B$ faktiskt en pol för relevanta värden på $a,b$ och $d$ . Till exempel i skalär $\phi ^{4}$ teori i 4 dimensioner, har loopintegralen i beräkningen av enslingrenormalisering av interaktionspunkten $(a,b,d)=(0,2,4)$ . Vi använder "tricket" med dimensionell regularisering , och fortsätter analytiskt $d$ till $d=4-\epsilon$ med $\epsilon$ en liten parameter.

För beräkning av mottermer bör loopintegralen uttryckas som en Laurent-serie i $\epsilon$ . För att göra detta är det nödvändigt att använda Laurent-expansionen av Gamma-funktionen ,

$\Gamma (\epsilon )={\frac {1}{\epsilon }}-\gamma +{\mathcal {O}}(\epsilon )$

där $\gamma$ är Euler–Mascheroni- konstanten. I praktiken divergerar loopintegralen i allmänhet som $\epsilon \rightarrow 0$

För en fullständig utvärdering av Feynman-diagrammet kan det finnas algebraiska faktorer som måste utvärderas. Till exempel i QED kan tensorindexen för integralen vara sammandragna med Gamma-matriser och identiteter som involverar dessa behövs för att utvärdera integralen. I QCD kan det finnas ytterligare Lie-algebra -faktorer, såsom den kvadratiska Casimir för den adjoint representationen såväl som av alla representationer som spelar roll (skalära eller spinorfält) i teoritransformeringen under.

Exempel

Skalär fältteori

φ ⁴ teori

Utgångspunkten är åtgärden för $\phi ^{4}$ teori i $\mathbb {R} ^{d}$ är

$S[\phi _{0}]=\int d^{d}x{\frac {1}{2}}(\partial \phi _{0})^{2}+{\frac { 1}{2}}m_{0}\phi _{0}^{2}+{\frac {1}{4!}}\lambda _{0}\phi _{0}^{4}.$

Där $(\partial \phi _{0})^{2}=\nabla \phi _{0} \cdot \nabla \phi _{0}=\sum _{i=1}^{d}\partial _{i}\phi _{0}\partial _{i}\phi _{0}$ . Domänen lämnas målmedvetet tvetydig, eftersom den varierar beroende på regleringsschema.

Den euklidiska signaturförökaren i momentum rymden är

${\frac {1}{p^{2}+m_{0}^{2}}}.$

Enslingans bidrag till tvåpunktskorrelatorn ${\displaystyle \langle \phi (x)\phi (y)\rangle } ($ eller snarare, till momentumrummet tvåpunkts korrelator eller Fouriertransform av tvåpunktskorrelatorn) kommer från ett enda Feynman-diagram och är

${\frac {\lambda _{0}}{2}}\int {\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{ k^{2}+m_{0}^{2}}}.$

Detta är ett exempel på en loopintegral.

Om $d\geq 2$ och integrationsdomänen är $\mathbb {R} ^{d}$ divergerar denna integral. Detta är typiskt för pusslet av divergenser som plågade kvantfältteorin historiskt. För att få ändliga resultat väljer vi ett regulariseringsschema . Som illustration ger vi två scheman.

Cutoff-regularisering : fixa $\Lambda >0$ . Den regulariserade loopintegralen är integralen över domänen $k=|\mathbf {k} |<\Lambda ,$ och det är typiskt att beteckna denna integral med

${\frac {\lambda _{0}}{2}}\int ^{\Lambda }{\frac {d^{d}k}{(2\pi )^{d}}}{\ frac {1}{k^{2}+m_{0}^{2}}}.$

Denna integral är ändlig och kan i detta fall utvärderas.

Dimensionell regularisering : vi integrerar över hela $\mathbb {R} ^{d}$ , men istället för att betrakta $d$ som ett positivt heltal fortsätter vi analytiskt $d$ till $d=n-\epsilon$ , där $\epsilon$ är liten. Genom beräkningen ovan visade vi att integralen kan skrivas i termer av uttryck som har en väldefinierad analytisk fortsättning från heltal $n$ till funktioner på $\mathbb {C}$ : specifikt gamma funktion har en analytisk fortsättning och att ta makter, $x^{d}$ , är en operation som analytiskt kan fortsätta.