Skalning (topologi)

I matematik är en skalning av ett förenklat komplex ett sätt att limma ihop det från dess maximala förenklingar (simplicerar som inte är ett ansikte av en annan simplex) på ett väluppfostrat sätt. En komplex som medger en beskjutning kallas skalbar .

Definition

Ett d -dimensionellt förenklat komplex kallas rent om dess maximala förenklingar alla har dimensionen d . Låt $\Delta$ vara ett ändligt eller uträkneligt oändligt förenklat komplex. En ordnande $C_{1},C_{2},\ldots$ av de maximala förenklingarna av $\Delta$ är en skalning om komplexet

$B_{k}:={\Big (}\bigcup _{i=1}^{k-1}C_{i} {\Big )}\cap C_{k}$

är ren och av dimensionen $\dim C_{k}-1$ för alla $k=2,3,\ldots$ . Det vill säga, den "nya" simplexen $C_{k}$ möter de tidigare simpliceringarna längs någon förening $B_{k}$ av toppdimensionella simpliceringar av gränsen för $C_ {k}$ . Om $B_{k}$ är hela gränsen för $C_{k}$ så kallas $C_{k}$ spänn .

För $\Delta$ som inte nödvändigtvis kan räknas, kan man definiera en skalning som en välordning av de maximala förenklingarna av $\Delta$ med analoga egenskaper.

Egenskaper

• Ett skalbart komplex är homotopi ekvivalent med en kilsumma av sfärer , en för varje spännande simplex med motsvarande dimension.
• Ett skalbart komplex kan tillåta många olika beskjutningar, men antalet spännande förenklingar och deras dimensioner beror inte på valet av beskjutning. Detta följer av den tidigare fastigheten.

Exempel

• Varje Coxeter-komplex , och mer allmänt varje byggnad (i betydelsen bröst), är skalbar.

• Gränskomplexet för en (konvex) polytop är skalbart . Observera att här är skalbarhet generaliserad till fallet med polyedriska komplex (som inte nödvändigtvis är enkla).

• Det finns en unshellable triangulering av tetraedern .

Anteckningar

•   Kozlov, Dmitry (2008). Kombinatorisk algebraisk topologi . Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-71961-8 .