Singularspektrumanalys

Singular spektrumanalys tillämpad på en tidsserie F , med rekonstruerade komponenter grupperade i trend, svängningar och brus

I tidsserieanalys är singularspektrumanalys ( SSA ) en icke-parametrisk spektral uppskattningsmetod . Den kombinerar element av klassisk tidsserieanalys , multivariat statistik , multivariat geometri, dynamiska system och signalbehandling . Dess rötter ligger i den klassiska Karhunen (1946)–Loève (1945, 1978) spektraluppdelning av tidsserier och slumpmässiga fält och i Mañé (1981)–Takens (1981) inbäddningssats . SSA kan vara ett hjälpmedel vid nedbrytningen av tidsserier till en summa av komponenter som var och en har en meningsfull tolkning. Namnet "singularspektrumanalys" hänför sig till spektrumet av egenvärden i en singulärvärdesuppdelning av en kovariansmatris , och inte direkt till en frekvensdomännedbrytning .

Kortfattad bakgrund

Ursprunget till SSA och, mer generellt, av subrymdbaserade metoder för signalbehandling, går tillbaka till 1700-talet ( Pronys metod) . ^{En nyckelutveckling .} var formuleringen av den fspektrala nedbrytningen av kovariansoperatorn av stokastiska processer av Kari Karhunen och Michel Loève i slutet av 1940-talet (Loève, 1945; Karhunen, 1947)

Broomhead och King (1986a, b) och Fraedrich (1986) föreslog att använda SSA och flerkanals SSA (M-SSA) i samband med olinjär dynamik i syfte att rekonstruera atttraktorn för ett system från uppmätta tidsserier . Dessa författare gav en förlängning och en mer robust tillämpning av idén att rekonstruera dynamik från en enda tidsserie baserad på inbäddningssatsen . Flera andra författare hade redan tillämpat enkla versioner av M-SSA på meteorologiska och ekologiska datamängder (Colebrook, 1978; Barnett och Hasselmann, 1979; Weare och Nasstrom, 1982).

Ghil , Vautard och deras kollegor (Vautard och Ghil, 1989; Ghil och Vautard, 1991; Vautard et al., 1992; Ghil et al., 2002) noterade å ena sidan analogin mellan banamatrisen för Broomhead och King, och Karhunen–Loeve-nedbrytningen ( Huvudkomponentanalys i tidsdomänen), å den andra. Således kan SSA användas som en tids- och frekvensdomänmetod för tidsserieanalys – oberoende av attraktionsrekonstruktion och inklusive fall där den senare kan misslyckas. Undersökningen av Ghil et al. (2002) är grunden för § Metodavsnittet i denna artikel. Ett avgörande resultat av dessa författares arbete är att SSA på ett robust sätt kan återställa "skelettet" av en attraktion, inklusive i närvaro av brus. Detta skelett bildas av de minst instabila periodiska banorna, som kan identifieras i egenvärdesspektra för SSA och M-SSA. Identifieringen och den detaljerade beskrivningen av dessa banor kan ge mycket användbara pekare till den underliggande olinjära dynamiken.

Den så kallade 'Caterpillar'-metoden är en version av SSA som utvecklades i fd Sovjetunionen, oberoende av det vanliga SSA-arbetet i väst. Denna metodik blev känd i resten av världen på senare tid (Danilov och Zhigljavsky, Eds., 1997; Golyandina et al., 2001; Zhigljavsky, Ed., 2010; Golyandina och Zhigljavsky, 2013; Golyandina et al., 2018). 'Caterpillar-SSA' betonar begreppet separerbarhet, ett begrepp som leder till till exempel specifika rekommendationer angående val av SSA-parametrar. Denna metod beskrivs noggrant i § SSA som ett modellfritt verktyg i denna artikel.

Metodik

I praktiken är SSA en icke-parametrisk spektral uppskattningsmetod baserad på inbäddning av en tidsserie $\{X(t):t=1,\ldots ,N\}$ i ett vektorrum med dimensionen $M$ . SSA fortsätter genom att diagonalisera $M\times M$ lag-kovariansmatris ${\textbf {C}}_{X}$ av $X(t)$ för att erhålla spektral information om tidsserien, antagen vara stationär i svag mening. Matrisen ${\textbf {C}}_{X}$ kan uppskattas direkt från data som en Toeplitz-matris med konstanta diagonaler (Vautard och Ghil, 1989), dvs. dess poster ${\ displaystyle c_{ij}}$ beror endast på fördröjningen $|ij|$ :

c_{ij}={\frac {1}{N-|ij|}}\summa _{t=1}^{N-|ij|}X(t)X(t+|ij|).

Ett alternativt sätt att beräkna ${\textbf {C}}_{X}$ är att använda $N'\times M$ "banamatris" ${\ textbf {D}}$ som bildas av $M$ lagskiftade kopior av ${\it {X(t)}}$ , som är $N'=N-M+1$ lång; sedan

{\textbf {C}}_{X}={\frac {1}{N'}}{\textbf {D}}^{\rm {t}}{\textbf {D}}.

M $M$ egenvektorerna ${\textbf {E}}_{k}$ fördröjningskovariansmatrisen ${\textbf {C}}_{X}$ kallas temporal empiriska ortogonala funktioner (EOFs) . Egenvärdena $\lambda _{k}$ för ${\textbf {C}}_{X}$ står för den partiella variansen i riktningen ${\textbf {E }}_{k}$ och summan av egenvärdena, dvs. spåret av ${\textbf {C}}_{X}$ , ger den totala variansen för den ursprungliga tidsserien $X(t)$ . Namnet på metoden kommer från singularvärdena $\lambda _{k}^{1/2}$ i ${\textbf {C}}_{X}.$

Nedbrytning och återuppbyggnad

Att projicera tidsserien på varje EOF ger motsvarande temporala huvudkomponenter (PC) ${\textbf {A}}_{k}$ :

A_{k}(t)=\sum _{j=1}^{M}X(t+j-1)E_{k}(j).

Ett oscillerande läge kännetecknas av ett par nästan lika SSA-egenvärden och associerade datorer som är i ungefärlig faskvadratur (Ghil et al., 2002). Ett sådant par kan effektivt representera en ickelinjär, anharmonisk svängning. Detta beror på det faktum att ett enda par av dataadaptiva SSA-egenmoder ofta kommer att fånga den grundläggande periodiciteten för ett oscillerande läge bättre än metoder med fasta basfunktioner , såsom sinus och cosinus som används i Fouriertransformen .

Fönsterbredden $M$ bestämmer den längsta periodiciteten som fångas av SSA. Signal-till-brus-separation kan erhållas genom att bara inspektera lutningsbrottet i ett "screediagram" av egenvärden $\lambda _{k}$ eller singularvärden $\lambda _{ k}^{1/2}$ mot $k$ . Punkten $k^{*}=S$ där detta brott inträffar ska inte förväxlas med en "dimension" $D$ av den underliggande deterministiska dynamiken (Vautard och Ghil, 1989).

Ett Monte-Carlo-test (Allen och Smith, 1996; Allen och Robertson, 1996; Groth och Ghil, 2015) kan användas för att fastställa den statistiska signifikansen för de oscillerande paren som detekteras av SSA. Hela tidsserien eller delar av den som motsvarar trender, oscillerande lägen eller brus kan rekonstrueras genom att använda linjära kombinationer av PC och EOF, som tillhandahåller de rekonstruerade komponenterna (RC) R K {\displaystyle {\textbf { $} _{K}}$ :

R_{K}(t)={\frac {1}{M_{t}}}\summa _{k\in {\textit {K}}}\summa _{j={L_{t} }}^{U_{t}}A_{k}(t-j+1)E_{k}(j);

här är $K$ uppsättningen av EOF som rekonstruktionen är baserad på. Värdena för normaliseringsfaktorn $M_{t}$ , såväl som för den nedre och övre gränsen för summering $L_{t}$ och $U_{t}$ , skiljer sig mellan den centrala delen av tidsserien och närheten av dess slutpunkter (Ghil et al., 2002).

Multivariat förlängning

Multi-channel SSA (eller M-SSA) är en naturlig förlängning av SSA till en $L$ -kanals tidsserie av vektorer eller kartor med $N$ datapunkter $\{X_{l}(t):l=1,\dots ,L;t=1,\dots ,N\}$ . I den meteorologiska litteraturen antas ofta utökad EOF (EEOF)-analys vara synonymt med M-SSA. De två metoderna är båda förlängningar av klassisk principal komponentanalys (PCA) men de skiljer sig i betoning: EEOF-analys använder vanligtvis ett antal $L$ av rumsliga kanaler som är mycket större än antalet $M$ av tidsfördröjningar, sålunda begränsar tids- och spektralinformationen. I M-SSA brukar man däremot välja $L\leq M$ . Ofta tillämpas M-SSA på ett fåtal ledande datorer av rumslig data, med $M$ vald tillräckligt stor för att extrahera detaljerad tids- och spektralinformation från den multivariata tidsserien (Ghil et al., 2002). Emellertid har Groth och Ghil (2015) visat möjliga negativa effekter av denna varianskomprimering på detekteringshastigheten för svaga signaler när antalet $L$ av behållna datorer blir för litet. Denna praxis kan ytterligare negativt påverka den omdömesgilla rekonstruktionen av de spatio-temporala mönstren för sådana svaga signaler, och Groth et al. (2016) rekommenderar att du behåller ett maximalt antal datorer, dvs $L=N$ .

Groth och Ghil (2011) har visat att en klassisk M-SSA-analys lider av ett degenerationsproblem, nämligen EOF:erna separerar inte väl mellan distinkta svängningar när motsvarande egenvärden är lika stora. Detta problem är en brist i principal komponentanalys i allmänhet, inte bara av M-SSA i synnerhet. För att minska blandningseffekterna och förbättra den fysiska tolkningen har Groth och Ghil (2011) föreslagit en efterföljande VARIMAX-rotation av de spatio-temporala EOF:erna (ST-EOFs) i M-SSA. För att undvika förlust av spektrala egenskaper (Plaut och Vautard 1994) har de infört en liten modifiering av den vanliga VARIMAX-rotationen som tar hänsyn till den rumsliga-temporala strukturen hos ST-EOF. Alternativt har en sluten matrisformulering av algoritmen för samtidig rotation av EOFs genom iterativ SVD-nedbrytning föreslagits (Portes och Aguirre, 2016).

M-SSA har två prognostiseringsmetoder kända som återkommande och vektor. Avvikelserna mellan dessa två tillvägagångssätt kan tillskrivas organiseringen av matrisen ${\textbf {X}}$ i varje serie i blockbanan i det multivariata fallet. Två banmatriser kan organiseras som antingen vertikala (VMSSA) eller horisontella (HMSSA) som nyligen introducerades i Hassani och Mahmoudvand (2013), och det visades att dessa konstruktioner leder till bättre prognoser. Följaktligen har vi fyra olika prognosalgoritmer som kan utnyttjas i denna version av MSSA (Hassani och Mahmoudvand, 2013).

Förutsägelse

I detta underavsnitt fokuserar vi på fenomen som uppvisar en betydande oscillerande komponent: upprepning ökar förståelsen och därmed förtroendet för en prediktionsmetod som är nära förbunden med sådan förståelse.

Singular spectrum analysis (SSA) och den maximala entropimetoden (MEM) har kombinerats för att förutsäga en mängd olika fenomen inom meteorologi, oceanografi och klimatdynamik (Ghil et al., 2002, och referenser däri). Först filtreras "bruset" bort genom att projicera tidsserien på en delmängd av ledande EOF erhållna av SSA; den valda delmängden bör inkludera statistiskt signifikanta, oscillerande moder. Erfarenhet visar att detta tillvägagångssätt fungerar bäst när den partiella variansen förknippad med paren av RC:er som fångar dessa lägen är stor (Ghil och Jiang, 1998).

De förfiltrerade RC:erna extrapoleras sedan genom minsta kvadratanpassning till en autoregressiv modell ${\displaystyle AR[p]} ,$ vars koefficienter ger MEM-spektrumet för den återstående "signalen". Slutligen används de utökade RC:erna i SSA-rekonstruktionsprocessen för att ta fram prognosvärden. Anledningen till att detta tillvägagångssätt - via SSA-förfiltrering, AR-extrapolering av RC:erna och SSA-rekonstruktion - fungerar bättre än den vanliga AR-baserade förutsägelsen förklaras av det faktum att de individuella RC:erna är smalbandiga signaler, till skillnad från den ursprungliga, brusiga tiden serie $X(t)$ (Penland et al., 1991; Keppenne och Ghil, 1993). Faktum är att den optimala ordningen p som erhålls för de individuella RC:erna är betydligt lägre än den som ges av standard Akaike informationskriteriet (AIC) eller liknande.

Spatio-temporal luckfyllning

Den luckfyllande versionen av SSA kan användas för att analysera datamängder som är ojämnt samplade eller innehåller saknade data (Kondrashov och Ghil, 2006; Kondrashov et al. 2010). För en univariat tidsserie använder SSA-gapfyllningsproceduren tidsmässiga korrelationer för att fylla i de saknade punkterna. För en multivariat datamängd utnyttjar M-SSA fyllning av luckor av både rumsliga och tidsmässiga korrelationer. I båda fallen: (i) uppskattningar av saknade datapunkter produceras iterativt och används sedan för att beräkna en självkonsistent lag-kovariansmatris ${\textbf {C}}_{X}$ och dess EOFs ${\textbf {E}}_{k}$ ; och (ii) korsvalidering används för att optimera fönsterbredden $M$ och antalet ledande SSA-moder för att fylla luckorna med den iterativt uppskattade "signalen", medan bruset kasseras.

Som ett modellfritt verktyg

De områden där SSA kan tillämpas är mycket breda: klimatologi, marin vetenskap, geofysik, teknik, bildbehandling, medicin, ekonometri bland dem. Därför har olika modifieringar av SSA föreslagits och olika metoder för SSA används i praktiska tillämpningar som trendextraktion , periodicitetsdetektion , säsongsjustering , utjämning , brusreducering (Golyandina, et al, 2001).

Grundläggande SSA

SSA kan användas som en modellfri teknik så att den kan tillämpas på godtyckliga tidsserier inklusive icke-stationära tidsserier. Det grundläggande syftet med SSA är att dekomponera tidsserierna i summan av tolkbara komponenter som trend, periodiska komponenter och brus utan att ha några a-priori-antaganden om den parametriska formen av dessa komponenter.

Betrakta en realtidsserie $\mathbb {X} =(x_{1},\ldots ,x_{N})$ med längden $N$ . Låt $L$ $\ (1<L<N)$ vara något heltal som kallas fönsterlängden och $K=N-L+ 1$ .

Huvudalgoritm

Steg 1: Inbäddning.

Bilda banamatrisen för serien ${\displaystyle \mathbb {X} } ,$ som är $L\!\times \!K$ matrisen

\mathbf {X} =[X_{1}:\ldots :X_{K}] =(x_{ij})_{i,j=1}^{L,K}={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{K}\\x_ {2}&x_{3}&x_{4}&\ldots &x_{K+1}\\x_{3}&x_{4}&x_{5}&\ldots &x_{K+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{L}&x_{L+1}&x_{L+2}&\ldots &x_{N}\\\end{bmatrix}}

där $X_{i}=(x_{i},\ldots ,x_{i+L-1} )^{\mathrm {T} }\;\quad (1\leq i\leq K)$ är fördröjda vektorer av storleken $L$ . Matrisen $\mathbf {X}$ är en Hankel-matris som betyder att $\mathbf {X}$ har lika element $x_{ij}$ på antidiagonalerna $i+j=\,{\rm {const}}$ .

Steg 2: Singular Value Decomposition (SVD).

Utför singularvärdesuppdelningen (SVD) av banamatrisen $\mathbf {X}$ . Ställ in ${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\mathrm {T} }} och$ beteckna med $\lambda _{L}}$ ${\displaystyle \lambda _ {1},\ldots$ , egenvärdena för $\mathbf {S}$ tagna i avtagande storleksordning ( $\lambda _{ 1}\geq \ldots \geq \lambda _{L}\geq 0$ ) och med $U_{1},\ldots ,U_{L}$ egenvektorernas ortonormala system av matrisen $\mathbf {S}$ som motsvarar dessa egenvärden.

Ställ in $d=\mathop {\mathrm {rank} } \mathbf {X} =\max\{i,\ {\mbox {så att}}\ \lambda _{i}>0\}$ (observera att $d=L$ för en typisk serie från verkligheten) och ${ \displaystyle V_{i}=\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }U_{i}/{\sqrt {\lambda _{i}}}} (i$ $displaystyle (i=1,\ldots,d)}$ . I denna notation kan SVD för banamatrisen $\mathbf {X}$ skrivas som

\mathbf {X} =\mathbf {X} _{1}+\ldots +\mathbf {X} _{d},

var

\mathbf {X} _{i}={\sqrt {\lambda _{i}}}U_{i}V_{i}^{\mathrm {T} }

är matriser med rang 1; dessa kallas elementära matriser . Samlingen $({\sqrt {\lambda _{i}}},U_{i},V_{i})$ kommer att kallas i $\displaystyle i}$ egentrippel (förkortad som ET) av SVD . Vektorerna $U_{i}$ är de vänstra singularvektorerna för matrisen $\mathbf {X}$ , talen ${\sqrt {\lambda _{i}}}$ är singularvärdena och ger singularspektrumet för $\mathbf {X}$ ; detta ger namnet till SSA. Vektorerna ${\sqrt {\lambda _{i}}}V_{i}=\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }U_{i}$ kallas vektorer av huvudkomponenter (PC).

3:e steget: Egentrippelgruppering.

Partitionera uppsättningen av index $\{1,\ldots ,d\}$ i $m$ disjunta delmängder $I_{1}, \ldots ,I_{m}$ .

Låt $I=\{i_{1},\ldots ,i_{p}\}$ . Då definieras den resulterande matrisen $\mathbf {X} _{I}$ som motsvarar gruppen $I$ som $\mathbf { X} _{I}=\mathbf {X} _{i_{1}}+\ldots +\mathbf {X} _{i_{p}}$ . De resulterande matriserna beräknas för grupperna $I=I_{1},\ldots ,I_{m}$ och den grupperade SVD-expansionen av $\mathbf {X}$ kan nu skrivas som

\mathbf {X} =\mathbf {X} _{I_{1}}+\ldots +\mathbf {X} _{I_{m}}.

Steg 4: Diagonal medelvärde.

Varje matris $\mathbf {X} _{I_{j}}$ i den grupperade sönderdelningen hankeliseras och sedan omvandlas den erhållna Hankel-matrisen till en ny serie med längden $N$ med hjälp av en -till-en överensstämmelse mellan Hankel-matriser och tidsserier. Diagonal medelvärde som tillämpas ${\widetilde {\mathbb {X} }}^{(k)}=({\widetilde {x}}_{1}^{(k)},\ldots ,{\widetilde { x}}_{N}^{(k)})$ en resulterande matris $\mathbf {X} _{I_{k}}$ ger en rekonstruerad serie . På detta sätt bryts den initiala serien ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}} upp i en summa av$ $m$ rekonstruerade underserier:

x_{n}=\summa \limits _{k=1}^{m}{\widetilde {x}}_{n}^{(k)}\ \ (n=1,2,\ldots ,N).

Denna nedbrytning är huvudresultatet av SSA-algoritmen. Nedbrytningen är meningsfull om varje rekonstruerad delserie skulle kunna klassificeras som en del av antingen trend eller någon periodisk komponent eller brus.

Teori om SSA-separabilitet

De två huvudfrågorna som teorin om SSA försöker besvara är: (a) vilka tidsseriekomponenter som kan separeras av SSA, och (b) hur man väljer fönsterlängden $L$ och gör en korrekt gruppering för extraktion av en önskvärd komponent. Många teoretiska resultat finns i Golyandina et al. (2001, kap. 1 och 6).

Trend (som definieras som en långsamt varierande komponent i tidsserien), periodiska komponenter och brus är asymptotiskt separerbara som $N\rightarrow \infty$ . I praktiken $N$ fast och man är intresserad av ungefärlig separerbarhet mellan tidsseriekomponenter. Ett antal indikatorer på ungefärlig separerbarhet kan användas, se Golyandina et al. (2001, kap. 1). Fönsterlängden $L$ bestämmer upplösningen för metoden: större värden på $L$ ger mer förfinad nedbrytning till elementära komponenter och därför bättre separerbarhet. Fönsterlängden $L$ bestämmer den längsta periodiciteten som fångas av SSA. Trender kan extraheras genom att gruppera egentrippel med långsamt varierande egenvektorer. En sinusform med frekvens mindre än 0,5 producerar två ungefär lika stora egenvärden och två sinusvågegenvektorer med samma frekvenser och $\pi /2$ -förskjutna faser.

Separation av två tidsseriekomponenter kan betraktas som extraktion av en komponent i närvaro av störning av den andra komponenten. SSA-perturbationsteori utvecklas i Nekrutkin (2010) och Hassani et al. (2011).

Prognos av SSA

Om för någon serie $\mathbb {X}$ SVD-steget i Basic SSA ger $d<L$ , så kallas denna serie tidsserier av rang $d$ (Golyandina et al., 2001, kap. 5). Delutrymmet som sträcks av $d$ ledande egenvektorer kallas signalunderrymd . Detta delutrymme används för att uppskatta signalparametrarna vid signalbehandling , t.ex. ESPRIT för högupplöst frekvensuppskattning. Detta delutrymme bestämmer också den linjära homogena återfallsrelationen (LRR) som styr serien, som kan användas för prognoser. Fortsättning av serien av LRR liknar linjär förutsägelse framåt vid signalbehandling.

Låt serien styras av den minimala LRR $x_{n}=\summa _{k=1}^{d}b_{k}x_{nk }$ . Låt oss välja $L>d$ , $U_{1},\ldots ,U_{d}$ vara egenvektorerna (vänster singularvektorer för $L$ -bana matris), som tillhandahålls av SVD-steget i SSA. Då styrs denna serie av en LRR $x_{n}=\summa _{k=1}^{L-1}a_{k} x_{nk}$ , där $(a_{L-1},\ldots ,a_{1})^{\mathrm {T} }$ uttrycks genom $U_{1},\ldots ,U_{d}$ (Golyandina et al., 2001, kap. 5), och kan fortsättas av samma LRR.

Detta ger grunden för SSA-återkommande och vektorprognosalgoritmer (Golyandina et al., 2001, kap. 2). I praktiken förvrängs signalen av en störning, t.ex. av brus, och dess underrum uppskattas av SSA ungefär. Således kan SSA-prognoser tillämpas för prognostisering av en tidsseriekomponent som är ungefär styrd av en LRR och är ungefär skild från resterande.

Multivariat förlängning

Multi-channel, Multivariate SSA (eller M-SSA) är en naturlig förlängning av SSA till för att analysera multivariata tidsserier, där storleken på olika univariata serier inte behöver vara densamma. Banmatrisen för flerkanalstidsserier består av länkade banmatriser av separata tidsserier. Resten av algoritmen är densamma som i det univariata fallet. System av serier kan prognostiseras analogt med SSA återkommande och vektoralgoritmer (Golyandina och Stepanov, 2005). MSSA har många applikationer. Det är särskilt populärt för att analysera och prognostisera ekonomiska och finansiella tidsserier med kort och lång serielängd (Patterson et al., 2011, Hassani et al., 2012, Hassani och Mahmoudvand, 2013). En annan multivariat förlängning är 2D-SSA som kan appliceras på tvådimensionella data som digitala bilder (Golyandina och Usevich, 2010). Analogen av banmatrisen konstrueras genom att flytta 2D-fönster med storleken $L_{x}\ gånger L_{y}$ .

MSSA och kausalitet

En fråga som ofta dyker upp i tidsserieanalys är om en ekonomisk variabel kan hjälpa till att förutsäga en annan ekonomisk variabel. Ett sätt att ta itu med denna fråga föreslogs av Granger (1969), där han formaliserade kausalitetsbegreppet. Ett omfattande kausalitetstest baserat på MSSA har nyligen introducerats för kausalitetsmätning. Testet baseras på prognostiseringsnoggrannheten och förutsägbarheten av ändringsriktningen för MSSA-algoritmerna (Hassani et al., 2011 och Hassani et al., 2012).

MSSA och EMH

MSSA-prognosresultaten kan användas för att undersöka den effektiva marknadshypotesen ( EMH). EMH föreslår att informationen i prisserien för en tillgång återspeglas "omedelbart, helt och ständigt" i tillgångens aktuella pris. Eftersom prisserien och informationen i den är tillgänglig för alla marknadsaktörer kan ingen dra nytta av att försöka dra fördel av informationen i en tillgångs prishistorik genom att handla på marknaderna. Detta utvärderas med hjälp av två serier med olika serielängd i ett multivariat system i SSA-analys (Hassani et al. 2010).

MSSA, SSA och konjunkturcykler

Konjunkturcykler spelar en nyckelroll inom makroekonomi och är intresse för en mängd olika aktörer i ekonomin, inklusive centralbanker, beslutsfattare och finansiella mellanhänder. MSSA-baserade metoder för att spåra konjunkturcykler har nyligen introducerats och har visat sig möjliggöra en tillförlitlig bedömning av ekonomins cykliska position i realtid (de Carvalho et al., 2012 och de Carvalho och Rua, 2017) .

MSSA, SSA och enhetsrot

SSA:s tillämplighet på alla typer av stationära eller deterministiskt trendande serier har utvidgats till fallet med en serie med en stokastisk trend, även känd som en serie med en enhetsrot. I Hassani och Thomakos (2010) och Thomakos (2010) ges den grundläggande teorin om egenskaper och tillämpning av SSA i fallet med serier av en enhetsrot, tillsammans med flera exempel. Det visas att SSA i sådana serier producerar en speciell typ av filter, vars form och spektrala egenskaper härleds, och att prognostisering av den enstaka rekonstruerade komponenten reduceras till ett glidande medelvärde. SSA i enhetsrötter tillhandahåller således ett `optimerande' icke-parametriskt ramverk för utjämning av serier med en enhetsrot. Denna arbetslinje utvidgas också till att gälla två serier, som båda har en enhetsrot men är kointegrerade. Tillämpningen av SSA i detta bivariata ramverk ger en utjämnad serie av den gemensamma rotkomponenten.

Fylla i hål

De luckfyllande versionerna av SSA kan användas för att analysera datamängder som är ojämnt samplade eller innehåller saknade data (Schoellhamer, 2001; Golyandina och Osipov, 2007).

Schoellhamer (2001) visar att den enkla idén att formellt beräkna ungefärliga inre produkter med utelämnande av okända termer är användbar för långa stationära tidsserier. Golyandina och Osipov (2007) använder idén om att fylla i saknade poster i vektorer tagna från det givna underrummet. Den återkommande SSA-prognosen och vektor-SSA-prognosen kan betraktas som särskilda fall av ifyllande av algoritmer som beskrivs i artikeln.

Detektering av strukturella förändringar

SSA kan effektivt användas som en icke-parametrisk metod för tidsserieövervakning och förändringsdetektering . För att göra det utför SSA spårningen av delutrymmet på följande sätt. SSA appliceras sekventiellt på de initiala delarna av serien, konstruerar motsvarande signalunderrymd och kontrollerar avstånden mellan dessa underutrymmen och de fördröjda vektorerna som bildas från de få senaste observationerna. Om dessa avstånd blir för stora misstänks en strukturell förändring ha skett i serien (Golyandina et al., 2001, Ch.3; Moskvina och Zhigljavsky, 2003).

På så sätt skulle SSA kunna användas för förändringsdetektering inte bara i trender utan även i seriens variabilitet, i mekanismen som bestämmer beroendet mellan olika serier och även i brusstrukturen. Metoden har visat sig vara användbar i olika tekniska problem (t.ex. Mohammad och Nishida (2011) inom robotik), och har utvidgats till det multivariata fallet med motsvarande analys av detektionsfördröjning och falsk positiv frekvens.

Samband mellan SSA och andra metoder

Autoregression: Typisk modell för SSA är ${\displaystyle x_{n}=s_{n}+e_{n}} ,$ där ${\ displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{r}a_{k}s_{nk}} ($ signal som uppfyller en LRR) och $e_{n}$ är brus. Modellen för AR är $x_{n}=\summa _{k=1}^{r}a_{k}x_{nk} +e_{n}$ . Trots att dessa två modeller ser lika ut är de väldigt olika. SSA betraktar AR endast som en bullerkomponent. AR(1), som är rött brus, är en typisk modell för buller för Monte-Carlo SSA (Allen och Smith, 1996).

Spektral Fourier-analys: I motsats till Fourier-analys med fast bas av sinus- och cosinusfunktioner använder SSA en adaptiv bas som genereras av själva tidsserien. Som ett resultat är den underliggande modellen i SSA mer generell och SSA kan extrahera amplitudmodulerade sinusvågskomponenter med frekvenser som skiljer sig från $k/N$ . SSA-relaterade metoder som ESPRIT kan uppskatta frekvenser med högre upplösning än spektral Fourier-analys .

Linjära återfallsrelationer: Låt signalen modelleras av en serie som uppfyller ett linjärt återkommande förhållande $s_{n}=\summa _{k=1}^{ r}a_{k}s_{nk}$ ; det vill säga en serie som kan representeras som summor av produkter av exponential-, polynom- och sinusvågsfunktioner. Detta inkluderar summan av dumpade sinusmodeller vars komplexvärde form är $s_{n}=\summa _{k}C_{k}\ rho _{k}^{n}e^{i2\pi \omega _{k}n}$ . SSA-relaterade metoder tillåter uppskattning av frekvenser $\omega _{k}$ och exponentialfaktorer $\rho _{k}$ (Golyandina och Zhigljavsky, 2013, avsnitt 3.8). Koefficienter $C_{k}$ kan uppskattas med minsta kvadratmetoden . Utvidgning av modellen, där $C_{k}$ ersätts med polynom av $n$ , kan också övervägas inom de SSA-relaterade metoderna (Badeau et al., 2008).

Signalunderrymdsmetoder med: SSA kan betraktas som en underrymdsbaserad metod, eftersom den tillåter uppskattning av signalunderrummet för dimensionen $r$ s $\displaystyle \mathop {\mathrm {span} } (U_{1},\ldots,U_{r})}$ .

Tillståndsrymdmodeller: Huvudmodellen bakom SSA är ${\displaystyle x_{n}=s_{n}+e_{n}} ,$ där $s_{n}=\sum _{k=1}^{r}a_{k}s_{nk}$ och $e_{n}$ är brus. Formellt tillhör denna modell den allmänna klassen av statliga rymdmodeller. Det specifika med SSA ligger i faktumet att parameteruppskattning är ett problem av sekundär betydelse i SSA och dataanalysprocedurerna i SSA är olinjära eftersom de är baserade på SVD för antingen bana eller lag-kovariansmatris.

Oberoende komponentanalys (ICA): SSA används vid blindkällseparering av ICA som ett förbearbetningssteg (Pietilä et al., 2006). Å andra sidan kan ICA användas som en ersättning för SVD-steget i SSA-algoritmen för att uppnå bättre separerbarhet (Golyandina och Zhigljavsky, 2013, avsnitt 2.5.4).

Regression: SSA kan extrahera polynomiska och exponentiella trender. Men till skillnad från regression, utgår SSA inte från någon parametrisk modell som kan ge betydande fördelar när en explorativ dataanalys utförs utan någon uppenbar modell i handen (Golyandina et al., 2001, kap.1).

Linjära filter: Rekonstruktionen av serien av SSA kan betraktas som adaptiv linjär filtrering. Om fönsterlängden $L$ är liten, då är varje egenvektor $U_{i}=(u_{1},\ldots ,u_{L} )^{\mathrm {T} }$ genererar ett linjärt filter med bredden $2L-1$ för rekonstruktion av mitten av serien ${\widetilde {x}}_{ s}$ , $L\leq s\leq K$ . Filtreringen är icke-kausal. Den så kallade Last-point SSA kan dock användas som ett orsaksfilter (Golyandina och Zhigljavsky 2013, avsnitt 3.9).

Densitetsuppskattning: Eftersom SSA kan användas som en metod för datautjämning kan den användas som en metod för icke-parametrisk densitetsuppskattning (Golyandina et al., 2012).

Se även

Akaike, H. (1969): "Anpassa autoregressiva modeller för förutsägelse", Ann. Inst. Statistik. Math., 21, 243–247.
Allen, MR och AW Robertson (1996): "Särskilja modulerade oscillationer från färgat brus i multivariata dataset", Clim. Dyn. 12, 775-784.
Allen, MR och LA Smith (1996) "Monte Carlo SSA: detektering av oregelbundna oscillationer i närvaro av färgat brus". Journal of Climate , 9 (12), 3373–3404.
Badeau, R., G. Richard och B. David (2008): "Performance of ESPRIT for Estimating Mixtures of Complex Exponentials Modulated by Polynomials". IEEE Transaktioner om signalbehandling , 56(2), 492–504.
Barnett, TP och K. Hasselmann (1979): "Tekniker för linjär förutsägelse, med tillämpning på oceaniska och atmosfäriska fält i det tropiska Stilla havet", Rev. Geophys., 17, 949–968.
Bozzo, E., R. Carniel och D. Fasino (2010): "Relation between singular spectrum analysis and Fourier analysis: Theory and application to the monitoring of vulkanic activity", Comput. Matematik. Appl. 60(3), 812–820
Broomhead, DS och GP King (1986a): "Extrahera kvalitativ dynamik från experimentella data", Physica D , 20, 217–236.
Broomhead, DS och GP King (1986b): "Om kvalitativ analys av experimentella dynamiska system". Icke-linjära fenomen och kaos , Sarkar S (Ed.), Adam Hilger, Bristol, 113-–144.
Colebrook, JM, (1978): "Kontinuerliga planktonregister: Zooplankton och miljö, nordöstra Atlanten och Nordsjön," Oceanol. Acta , 1, 9–23.
Danilov, D. och Zhigljavsky, A. (Eds.) (1997): Principal Components of Time Series: the Caterpillar method , University of St. Petersburg Press. (På ryska.)
de Carvalho, M., Rodrigues, PC och Rua, A. (2012): "Spåra den amerikanska konjunkturcykeln med en singular spectrum analysis" . Econ. Lett. , 114, 32-35.
de Carvalho, M., och Rua, A. (2017): "Real-time nowcasting the US output gap: Singular spectrum analysis at work" . Int. J. Forecasting , 33, 185–198.
Ghil, M. och R. Vautard (1991): "Interdecadal oscillations and the warming trend in global temperature time series", Nature , 350, 324–327.
Elsner, JB och Tsonis, AA (1996): Singular Spectrum Analysis. Ett nytt verktyg i tidsserieanalys , Plenum Press.
Fraedrich, K. (1986) "Estimating dimensions of weather and climate attractors". J. Atmos. Sci. 43, 419-432.
Ghil, M. och R. Vautard (1991): "Interdecadal oscillations and the warming trend in global temperature time series", Nature , 350, 324–327.
Ghil, M. och Jiang, N. (1998): "Senaste prognosfärdighet för El Niño/södra oscillationen", Geophys. Res. Lett. , 25, 171-174, 1998.
Ghil, M., RM Allen, MD Dettinger, K. Ide, D. Kondrashov, et al. (2002) "Avancerade spektrala metoder för klimattidsserier", Rev. Geophys. 40(1), 3,1–3,41.
Golyandina, N., A. Korobeynikov och A. Zhigljavsky (2018): Singular Spectrum Analysis with R . Springer Verlag. ISBN 3662573784 .
Golyandina, N., V. Nekrutkin och A. Zhigljavsky (2001): Analys av tidsseriestruktur: SSA och relaterade tekniker . Chapman och Hall/CRC. ISBN 1-58488-194-1 .
Golyandina, N. och E. Osipov (2007) "Caterpillar-SSA-metoden för analys av tidsserier med saknade värden", J. Stat. Planen. Inferens 137(8), 2642–2653.
Golyandina, N., A. Pepelyshev och A. Steland (2012): "Nya tillvägagångssätt för icke-parametrisk densitetsuppskattning och urval av utjämningsparametrar", Comput. Statistik. Data Anal. 56(7), 2206–2218.
Golyandina, N. och D. Stepanov (2005): "SSA-baserade metoder för analys och prognos av flerdimensionella tidsserier" . I: Proceedings of the 5th St.Petersburg Workshop on Simulation, 26 juni-2 juli 2005, St. Petersburg State University, St. Petersburg, s. 293–298.
Golyandina, N. och K. Usevich (2010): "2D-extension of Singular Spectrum Analysis: algorithm and elements of theory". I: Matrix Methods: Theory, Algorithms and Applications (Eds. V.Olshevsky and E.Tyrtyshnikov). World Scientific Publishing, 449–473.
Golyandina, N. och A. Zhigljavsky (2013) Singular Spectrum Analysis for time series . Springer Briefs in Statistics, Springer, ISBN 978-3-642-34912-6 .
Groth, A., Feliks, Y., Kondrashov, D. och Ghil, M. (2016): "Interannual variability in the North Atlantic ocean's temperature field and its association with the wind stress forcing", Journal of Climate , doi : 10.1175/jcli-d-16-0370.1 .
Groth, A. och M. Ghil (2011): "Multivariate singular spectrum analysis and the road to phase synchronization", Physical Review E 84, 036206, doi:10.1103/PhysRevE.84.036206 .
Groth, A. och M. Ghil (2015): "Monte Carlo Singular Spectrum Analysis (SSA) revisited: Detecting oscillator clusters in multivariate datasets", Journal of Climate , 28, 7873-7893, doi:10.1175/JCLI-D-15 -0100.1 .
Harris, T. och H. Yan (2010): "Filtrering och frekvenstolkningar av singularspektrumanalys". Physica D 239, 1958–1967.
Hassani, H. och D. Thomakos, (2010): "A Review on Singular Spectrum Analysis for Economic and Financial Time Series". Statistik och dess gränssnitt 3(3), 377-397.
Hassani, H., A. Soofi och A. Zhigljavsky (2011): "Predicting Daily Exchange Rate with Singular Spectrum Analysis". Icke-linjär analys: Real World Applications 11, 2023-2034.
Hassani, H., Z. Xu och A. Zhigljavsky (2011): "Singular spectrum analysis based on the perturbation theory". Icke-linjär analys: Real World Applications 12 (5), 2752-2766.
Hassani, H., S. Heravi och A. Zhigljavsky (2012): "Prognos för brittisk industriproduktion med multivariat singular spectrum analysis". Journal of Forecasting 10.1002/för.2244
Hassani, H., A. Zhigljavsky., K. Patterson och A. Soofi (2011): "A comprehensive causality test based on the singular spectrum analysis". I: Illari, PM, Russo, F., Williamson, J. (red.) Causality in Science , 1:a upplagan, sid. 379. Oxford University Press, London.
Hassani, H. och Mahmoudvand, R. (2013). Multivariat Singular Spectrum Analysis: En allmän vy och ny metod för vektorprognoser;. International Journal of Energy and Statistics 1(1), 55-83.
Keppenne, CL och M. Ghil (1993): "Adaptiv filtrering och förutsägelse av brusiga multivariata signaler: En tillämpning på subårlig variabilitet i atmosfäriskt vinkelmomentum," Intl. J. Bifurcation & Chaos , 3, 625–634.
Kondrashov, D. och M. Ghil (2006): "Spatio-temporal fyllning av saknade punkter i geofysiska datamängder", Nonlin . Processer Geofys. , 13, 151-159.
Kondrashov, D., Y. Shprits, M. Ghil, 2010: "Gap Filling of Solar Wind Data by Singular Spectrum Analysis," Geophys. Res. Lett , 37, L15101,
Mohammad, Y. och T. Nishida (2011) "Om att jämföra SSA-baserade algoritmer för upptäckt av förändringspunkter". IEEE SII , 938–945.
Moskvina, V. och A. Zhigljavsky (2003) "En algoritm baserad på singulära spektrumanalys för ändringspunktsdetektion". Commun Stat Simul Comput 32, 319–352.
Nekrutkin, V. (2010) "Perturbation expansions of signal subspaces for long signals". J. Stat. Gränssnitt 3, 297–319.
Patterson, K., H. Hassani, S. Heravi och A. Zhigljavsky (2011) "Multivariate singular spectrum analysis for forecasting versions to real time data". Journal of Applied Statistics 38 (10), 2183-2211.
Penland, C., Ghil, M. och Weickmann, KM (1991): "Adaptiv filtrering och maximala entropispektra, med tillämpning på förändringar i atmosfäriskt rörelsemängd," J. Geophys. Res. 96, 22659-22671.
Pietilä, A., M. El-Segaier, R. Vigário och E. Pesonen (2006) "Blind source separation of cardiac murmurs from heart recordings". I: Rosca J, et al. (red) Independent Component Analysis and Blind Signal Separation, Lecture Notes in Computer Science , vol 3889, Springer, pp 470–477.
Portes, LL och Aguirre, LA (2016): "Matrix formulering och singular-value decomposition algorithm for structured varimax rotation in multivariate singular spectrum analysis", Physical Review E , 93, 052216, doi: 10.1103 / PhysRevE.216 .
de Prony, G. (1795) "Essai expérimental et analytique sur les lois de la dilatabilité des fluides élastiques et sur celles de la force expansive de la vapeur de l'eau et la vapeur de l'alkool à différentes températures". J. de l'Ecole Polytechnique , 1(2), 24–76.
Sanei, S. och H. Hassani (2015) Singular Spectrum Analysis of Biomedical Signals . CRC Press, ISBN 9781466589278 - CAT# K20398.
Schoellhamer, D. (2001) "Singular spectrum analysis for time series with missing data". Geofys. Res. Lett. 28(16), 3187–3190.
Thomakos, D. (2010) "Median opartisk optimal utjämning och trend. Extraktion". Journal of Modern Applied Statistical Methods 9,144-159.
Vautard, R. och M. Ghil (1989): "Singular spectrum analysis in nonlinar dynamics, with applications to paleoclimatic time series", Physica D , 35, 395–424.
Vautard, R., Yiou, P. och M. Ghil (1992): "Singular-spectrum analysis: A toolkit for short, noisy chaotic signals", Physica D , 58, 95-126.
Weare, BC och JN Nasstrom (1982): "Exempel på utökade empiriska ortogonala funktionsanalyser," Mon. Weather Rev. , 110, 784–812.
Zhigljavsky, A. (Gästredaktör) (2010) "Särskild fråga om teori och praktik i singulära spektrumanalys av tidsserier". Statistik. Gränssnitt 3(3)

externa länkar