Silverman–Toeplitz sats

Inom matematiken är Silverman –Toeplitz-satsen , först bevisad av Otto Toeplitz , ett resultat i summerbarhetsteori som karakteriserar matrissummbarhetsmetoder som är regelbundna. En vanlig matrissummbarhetsmetod är en matristransformation av en konvergent sekvens som bevarar gränsen .

En oändlig matris $(a_{i,j})_{i,j\in \mathbb {N} }$ med komplexa värden definierar en vanlig summeringsmetod om och endast om den uppfyller alla följande egenskaper:

${\begin{aligned}&\lim _{i\to \infty }a_{i,j}=0\quad j\in \mathbb {N} && {\text{(Varje kolumnsekvens konvergerar till 0.)}}\\[3pt]&\lim _{i\to \infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i,j} =1&&{\text{(radsummorna konvergerar till 1.)}}\\[3pt]&\sup _{i}\summa _{j=0}^{\infty }\vert a_{i,j} \vert <\infty &&{\text{(De absoluta radsummorna är avgränsade.)}}\end{aligned}}$

Ett exempel är Cesaro summation , en matris summeringsmetod med

$a_{mn}={\begin{cases}{\frac {1}{m}}&n\leq m\\0&n>m\end{cases}}={\begin {pmatrix}1&0&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0&\cdots \\{\frac {1}{3}}&{\frac {1 }{3}}&{\frac {1}{3}}&0&0&\cdots \\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{ 4}}&{\frac {1}{4}}&0&\cdots \\{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5} }&{\frac {1}{5}}&{\frac {1}{5}}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{ pmatrix}},$

Vidare läsning

• Toeplitz, Otto (1911) " Über allgemeine lineare Mittelbildungen. " Prace mat.-fiz. , 22 , 113–118 (originaltidningen på tyska )
• Silverman, Louis Lazarus (1913) "Om definitionen av summan av en divergerande serie." University of Missouri Studies, Math. Serie I, 1–96
• Hardy, GH (1949), Divergent Series , Oxford: Clarendon Press , 43-48.
•   Boos, Johann (2000). Klassiska och moderna metoder i summerbarhet . New York: Oxford University Press. ISBN 019850165X .