Serres mångfaldsgissningar

Inom matematiken är Serres mångfaldsföreställningar , uppkallade efter Jean-Pierre Serre , vissa rent algebraiska problem, i kommutativ algebra , motiverade av algebraisk geometris behov . Sedan André Weils första definition av korsningsnummer , runt 1949, hade det funnits en fråga om hur man skulle kunna tillhandahålla en mer flexibel och beräkningsbar teori.

Låt R vara en (Noetherisk, kommutativ) regelbunden lokal ring och P och Q vara primära ideal för R . 1958 insåg Serre att klassiska algebraisk-geometriska idéer om mångfald kunde generaliseras med hjälp av begreppen homologisk algebra . Serre definierade skärningsmångfalden av R / P och R / Q med hjälp av Tor-funktionerna för homologisk algebra , som

$\chi (R/P,R/Q):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\ell _{R}(\operatörsnamn {Tor} _ {i}^{R}(R/P,R/Q)).$

Detta kräver konceptet med längden på en modul , här betecknat med $\ell _{R}$ , och antagandet att

$\ell _{R}((R/P)\otimes (R/Q))<\infty .$

Om denna idé skulle fungera, skulle dock vissa klassiska relationer förmodligen behöva fortsätta att hålla. Serre pekade ut fyra viktiga egenskaper. Dessa blev sedan gissningar, utmanande i det allmänna fallet. (Det finns mer allmänna uttalanden om dessa gissningar där R / P och R / Q ersätts av ändligt genererade moduler: se Serres lokala algebra för mer information.)

Dimensionsojämlikhet

Huvudartikel: Serres ojämlikhet på höjden

$\dim(R/P)+\dim(R/Q)\leq \dim(R)$

Serre bevisade detta för alla vanliga lokala ringar. Han fastställde följande tre egenskaper när R antingen har lika karaktäristiska eller blandade egenskaper och oförgrenad (vilket i det här fallet betyder att egenskapen för restfältet inte är ett element i kvadraten av det maximala idealet för den lokala ringen), och förmodade som de håller i allmänhet.

Icke-negativitet

$\chi (R/P,R/Q)\geq 0$

Detta bevisades av Ofer Gabber 1995.

Försvinnande

Om

$\dim(R/P)+\dim(R/Q)<\dim(R)\$

sedan

$\chi (R/P,R/Q)=0.\$

Detta bevisades 1985 av Paul C. Roberts, och oberoende av Henri Gillet och Christophe Soulé .

Positivitet

Om

$\dim(R/P)+\dim(R/Q)=\dim(R)\$

sedan

$\chi (R/P,R/Q)>0.\$

Detta förblir öppet.

Se även

• Homologiska gissningar i kommutativ algebra

•    Serre, Jean-Pierre (2000), Lokal algebra , Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer, s. 106–110, doi : 10.1007/978-3-662-04203-8 , ISBN 978-3-6902-085 1 , MR 1771925
•   Roberts, Paul (1985), "The vanishing of intersection multiplicities of perfect complexes", Bulletin of the American Mathematical Society , Bull. Amer. Matematik. Soc. 13, nr. 2, 13 (2): 127–130, doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15394-7 , MR 0799793
•   Roberts, Paul (1998), Senaste utvecklingen av Serres multiplicitetsföreställningar: Gabbers bevis på icke-negativitetsförmodan, L' Enseign. Matematik. (2) 44, nr. 3-4, sid. 305-324, MR 1659224
•   Berthelot, Pierre (1997), Altérations de variétés algébriques (d'après AJ de Jong) , Séminaire Bourbaki, Vol. 1995/96 , Astérisque nr 241, s. 273–311, MR 1472543
•    Gillet, H.; Soulé, C. (1987), "Intersection theory using Adams operations.", Inventiones Mathematicae , Invent. Matematik. 90, nr. 2, 90 (2): 243–277, Bibcode : 1987InMat..90..243G , doi : 10.1007/BF01388705 , MR 0910201 , S2CID 120635826
• Gabber, O. (1995), Non-negativity of serres intersection multiplicities , Exposé à L'IHES