Serre grupp

I matematik är Serre -gruppen S den pro-algebraiska gruppen vars representationer motsvarar CM-motiv över den algebraiska stängningen av rationalerna, eller till polariserbara rationella Hodge-strukturer med abelska Mumford-Tate-grupper . Det är en projektiv gräns för finita dimensionella tori, så i synnerhet är abelian. Det introducerades av Serre ( 1968 ). Det är en undergrupp till Taniyama-gruppen .

Det finns två olika men relaterade grupper som kallas Serre-gruppen, den ena den anslutna komponenten av identiteten i den andra. Den här artikeln handlar främst om den anslutna gruppen, vanligtvis kallad Serre-gruppen men ibland kallad den anslutna Serre-gruppen. Dessutom kan man definiera Serre-grupper av algebraiska talfält , och Serre-gruppen är den omvända gränsen för Serre-grupperna av talfält .

Definition

Serre-gruppen är den projektiva gränsen för Serre-grupperna av S L av finita Galois-förlängningar av rationalerna, och var och en av dessa grupper S L är en torus, så bestäms av dess teckenmodul, en finit fri Z -modul med en verkan av den finita Galois-gruppen Gal( L / Q ). Om L * är den algebraiska gruppen med L *( A ) enheterna för A L , så är L * en torus med samma dimension som L , och dess tecken kan identifieras med integralfunktioner på Gal( L / Q ). Serre-gruppen S L är en kvot av denna torus L *, så den kan beskrivas explicit i termer av modulen X *( S L ) med rationella tecken. Denna modul av rationella tecken kan identifieras med integralfunktionerna λ på Gal( L / Q ) så att

(σ−1)(ι+1)λ = (ι+1)(σ−1)λ = 0

för alla σ i Gal( L / Q ), där ι är komplex konjugation. Det ageras av Galois-gruppen.

Hela Serre-gruppen S kan beskrivas på liknande sätt i termer av dess modul X *( S ) med rationella tecken. Denna modul av rationella tecken kan identifieras med de lokalt konstanta integralfunktionerna λ på Gal( Q / Q ) så att

(σ−1)(ι+1)λ = (ι+1)(σ−1)λ = 0

för alla σ i Gal( Q / Q ), där ι är komplex konjugation.

  •    Deligne, Pierre; Milne, James S.; Ogus, Arthur ; Shih, Kuang-yen (1982), Hodge-cykler, motiv och Shimura-varianter. , Lecture Notes in Mathematics, vol. 900, Berlin-New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-11174-3 , MR 0654325
  •   Serre, Jean-Pierre (1968), Abeliska l-adiska representationer och elliptiska kurvor. , McGill University föreläsningsanteckningar, New York-Amsterdam: WA Benjamin, Inc., MR 0263823