Segre klass

Inom matematiken är Segre -klassen en karakteristisk klass som används i studien av kottar , en generalisering av vektorbuntar . För vektorbuntar är den totala Segre-klassen invers mot den totala Chern-klassen och ger därmed likvärdig information; fördelen med Segre-klassen är att den generaliserar till mer allmänna koner, medan Chern-klassen inte gör det. Segre-klassen introducerades i icke-singularfallet av Segre (1953). I den moderna behandlingen av intersektionsteori i algebraisk geometri, som utvecklats t.ex. i Fultons definitiva bok (1998), spelar Segre-klasser en grundläggande roll.

Definition

Antag att $C$ är en kon över $X$ , $q$ är projektionen från den projektiva avslutningen $\mathbb {P} (C\oplus 1 )$ av $C$ till $X$ och ${\mathcal {O}}(1)$ är den anti-tautologiska linjebunten på $\mathbb {P} (C\oplus 1)$ . Ser Chern-klassen $c_{1}({\mathcal {O}}(1))$ som en gruppendomorfism av Chow-gruppen av $\mathbb {P} (C\oplus 1)$ , den totala Segre-klassen för $C$ ges av:

$s(C)=q_{*}\left(\sum _{i\geq 0}c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{i}[\mathbb {P} (C\oplus 1)]\höger).$

Den ${\displaystyle i}:$ e Segre-klassen $s_{i}(C)$ är helt enkelt den ${\displaystyle i}:$ e klassade delen av $s(C)$ . Om $C$ är av ren dimension $r$ över $X$ så ges detta av:

$s_{i}(C)=q_{*}\left(c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{r+i}[\mathbb {P} (C\oplus 1)]\right).$

Anledningen till att använda $\mathbb {P} (C\oplus 1)$ istället för $\mathbb {P} (C)$ är att detta gör den totala Segre klass stabil under tillägg av trivialpaketet ${\mathcal {O}}$ .

Om Z är ett slutet delschema av ett algebraiskt schema X , så anger $s(Z,X)$ Segre-klassen för den normala konen till $Z\hookrightarrow X$ .

Relation till Chern-klasser för vektorbuntar

För en holomorf vektorbunt $E$ över ett komplext grenrör ${\displaystyle M} är$ en total Segre-klass $s(E)$ inversen till den totala Chern-klassen ${ \displaystyle c(E)}$ , se t.ex. Fulton (1998).

Explicit, för en total Chern-klass

$c(E)=1+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots \,$

man får den totala Segre-klassen

$s(E)=1+s_{1}(E)+s_{2}(E)+\cdots \,$

var

$c_{1}(E)=-s_{1}(E),\quad c_{2} (E)=s_{1}(E)^{2}-s_{2}(E),\quad \dots ,\quad c_{n}(E)=-s_{1}(E)c_{n -1}(E)-s_{2}(E)c_{n-2}(E)-\cdots -s_{n}(E)$

Låt $x_{1},\dots ,x_{k}$ vara Chern-rötter, dvs formella egenvärden för ${\frac {i\Omega }{2\ pi }}$ där $\Omega$ är en krökning av en anslutning på $E$ .

Medan Chern-klassen c(E) skrivs som

$c(E)=\prod _{i=1}^{k}(1+x_ {i})=c_{0}+c_{1}+\cdots +c_{k}\,$

där $c_{i}$ är ett elementärt symmetriskt polynom med graden $i$ i variablerna $x_{1},\dots ,x_{k}$

Segren för den dubbla bunten $E^{\vee }$ som har Chern-rötter $-x_{1},\dots ,-x_{k}$ är skrivet som

$s(E^{\vee })=\prod _{i=1}^{k}{\ frac {1}{1-x_{i}}}=s_{0}+s_{1}+\cdots$

Om man expanderar uttrycket ovan i potenser av $) {\displaystyle s_{i}(E^{\ vee })}$$\displaystyle x_{1},\dots x_{k}}$ kan man se att representeras av ett fullständigt homogent symmetriskt polynom av $x_{1},\dots x_{k}$

Egenskaper

Här är några grundläggande egenskaper.

• För vilken kon C som helst (t.ex. en vektorbunt), $s(C\oplus 1)=s(C)$ .
• För en kon

  $c(E)s(C\oplus E)=s(C).$

  och vektorbunt E ,
• Om E är en vektorbunt, då är

  $s_{i}(E)=0$ för $i<0$ .

  $s_{0}(E)$ är identitetsoperatorn.

  $s_{i}(E)\circ s_{j}(F)=s_{j}(F) \circ s_{i}(E)$ för en annan vektorbunt F .

• Om L är en linjebunt, då är ${\displaystyle s_{1}(L)=-c_{1}(L)} ,$ minus den första Chern-klassen av L .
• Om E är en vektorbunt av rang $e+1$ , då, för en linjebunt L ,

  $s_{p}(E\otimes L)=\sum _{i=0}^{p}(-1)^{pi}{\binom {e+p}{e+i}}s_{ i}(E)c_{1}(L)^{pi}.$

En nyckelegenskap för en Segre-klass är birationell invarians: detta finns i följande. Låt $p:X\to Y$ vara en riktig morfism mellan algebraiska scheman så att $Y$ är irreducerbar och varje irreducerbar komponent i $X$ mappar till $Y$ . Sedan, för varje stängt delschema $W\subset Y$ , $V=p^{-1}(W)$ och ${\ displaystyle p_{V}:V\to W}$ begränsningen av $p$ ,

${p_{V}}_{*}(s(V,X))=\operatörsnamn {deg} (p)\,s(W,Y).$

På liknande sätt, om $f:X\to Y$ är en platt morfism av konstant relativ dimension mellan rendimensionella algebraiska scheman, då, för varje stängt delschema $W\subset Y$ , $V=f^{-1}(W)$ och $f_{V}:V\to W$ begränsningen av ${\ displaystil f}$ ,

${f_{V}}^{*}(s(W,Y))=s(V,X).$

Ett grundläggande exempel på birational invarians tillhandahålls av en blow-up. Låt $\pi :{\widetilde {X}}\to X$ vara en sprängning längs något slutet delschema Z . Eftersom den exceptionella divisorn $E:=\pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}$ är en effektiv Cartier-divisor och den normala kon (eller normal bunt) till den är ${\mathcal {O}}_{E}(E):={\mathcal {O}}_{X}(E)|_{E}$ ,

${\begin {aligned}s(E,{\widetilde {X}})&=c({\mathcal {O}}_{E}(E))^{-1}[E]\\&=[E]- E\cdot [E]+E\cdot (E\cdot [E])+\cdots ,\end{aligned}}$

där vi använde notationen $D\cdot \alpha =c_{1}({\mathcal {O}}(D))\alpha$ . Således,

${\displaystyle s(Z,X)=g_{*}\left(\summa _{k=1$

där $g:E=\pi ^{-1}(Z)\to Z$ ges av $\pi$ .

Exempel

Exempel 1

Låt Z vara en jämn kurva som är en fullständig skärningspunkt av effektiva Cartier-delare $D_{1},\dots ,D_{n}$ på en variant X . Antag att dimensionen för X är n + 1. Då är Segre-klassen för den normala konen $C_{Z/X}$ till ${\displaystyle Z\hookrightarrow X} :$

$s(C_{Z/X})=[Z]-\sum _{i=1}^{n}D_{i}\cdot [Z].$

Faktum är att, till exempel, om Z regelbundet är inbäddad i X , då, eftersom $C_{Z/X}=N_{Z/X}$ är det normala paketet och ${\displaystyle N_{Z/X}=\bigoplus _{i=1}^{n}N_{D_{i}/X}|_{Z}} (se$ Normal kon#Egenskaper ), vi har:

$s(C_{Z/X})=c(N_{Z/X})^{-1}[Z]=\prod _{i=1}^{d}(1-c_{1} ({\mathcal {O}}_{X}(D_{i})))[Z]=[Z]-\summa _{i=1}^{n}D_{i}\cdot [Z].$

Exempel 2

Följande är exempel 3.2.22. av Fulton (1998). Den återvinner några klassiska resultat från Schuberts bok om enumerativ geometri .

Visa det dubbla projektiva utrymmet ${\breve {\mathbb {P} ^{3}}}$ som Grassmann-paketet $p:{\breve {\mathbb { P} ^{3}}}\till *$ genom att parametrisera 2-planen i $\mathbb {P} ^{3}$ , beakta den tautologiska exakta sekvensen

$0\to S\to p^{*}\mathbb {C} ^{3}\to Q\to 0$

där $S,Q$ är de tautologiska sub- och kvotbuntarna. Med ${\displaystyle E=\operatörsnamn {Sym} ^{2}(S^{*}\otimes Q^{*})} ,$ den projektiva bunten ${\displaystyle q:X=\mathbb {P} (E)\to {\breve {\mathbb {P} ^{3}}}} är$ variationen av koner i ${ \displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$ . Med $\beta =c_{1}(Q^{*})$ , har vi $c( S^{*}\otimes Q^{*})=2\beta +2\beta ^{2}$ och så, med Chern class#Computing formler ,

$c(E)=1+8\beta +30\beta ^{2}+60\beta ^{3}$

och sålunda

$s(E)=1+8h+34h^{2}+92h^{3}$

där $h=-\beta =c_{1}(Q).$ Koefficienterna i $s(E)$ har de numerativa geometriska betydelserna; till exempel är 92 antalet koniker som möter 8 allmänna linjer.

Se även: Restskärning#Exempel: käglor som tangerar givna fem käglor .

Exempel 3

Låt X vara en yta och $A,B,D$ effektiva Cartier-delare på den. Låt $Z\subset X$ vara den schemateoretiska skärningspunkten mellan $A+D$ och $B+D$ (visar dessa divisorer som slutna underscheman). För enkelhetens skull, anta att $A,B$ endast möts vid en enda punkt P med samma multiplicitet m och att P är en jämn punkt av X . Sedan

$s(Z,X)=[D]+(m^{2}[P]-D\cdot [D]).$

För att se detta, överväg uppblåsningen $\pi :{\widetilde {X}}\to X$ av X längs P och låt ${ \displaystyle g:{\widetilde {Z}}=\pi ^{-1}Z\till Z}$ , den strikta transformationen av Z . Med formeln på #Properties ,

$s(Z,X)=g_{*}([{\widetilde {Z}}])-g_{*}({\widetilde {Z}}\cdot [{\widetilde {Z}}]) .$

Eftersom ${\widetilde {Z}}=\pi ^{*}D+mE$ där $E=\pi ^{-1} P$ , resulterar formeln ovan.

Mångfald längs en undervarietet

Låt $(A,{\mathfrak {m}})$ vara den lokala ringen av en sort X vid en sluten undervarietet V - kodimension n (till exempel kan V vara en sluten punkt). Då $\operatorname {length} _{A}(A/{\mathfrak {m}}^{t})$ ett polynom med grad n in t för stort t ; dvs det kan skrivas som ${e(A)^{n} \over n!}t^{n}+$ termerna i lägre grad och heltal $e(A)$ kallas multiplicitet av A .

Segre-klassen $s(V,X)$ av $V\subset X$ kodar denna multiplicitet: koefficienten för $[V]$ i $s(V,X)$ är $e(A)$ .

Bibliografi

•    Fulton, William (1998), Intersection theory , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (andra upplagan), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-62046-4 , MR 1644323
•   Segre, Beniamino (1953), "Nuovi metodi e resultati nella geometria sulle varietà algebriche", Ann. Matta. Pura Appl. (på italienska), 35 (4): 1–127, MR 0061420