Samordna villkor

I allmän relativitetsteori kan fysikens lagar uttryckas i en allmänt samvariant form . Med andra ord, beskrivningen av världen som ges av fysikens lagar beror inte på vårt val av koordinatsystem. Men det är ofta användbart att fixa till ett visst koordinatsystem för att lösa faktiska problem eller göra faktiska förutsägelser. Ett koordinatvillkor väljer sådana koordinatsystem.

Obestämdhet i allmän relativitet

Einsteins fältekvationer bestämmer inte metriken unikt, även om man vet vad den metriska tensorn är lika med överallt vid en initial tidpunkt. Denna situation är analog med Maxwell-ekvationernas misslyckande att bestämma potentialerna unikt. I båda fallen kan otydligheten avlägsnas genom att man fixerar manometern . Således är koordinatförhållanden en typ av mätvillkor. Inget koordinattillstånd är generellt samvariant, men många koordinatvillkor är Lorentz-kovarianta eller rotationsmässigt kovarianta .

Naivt skulle man kunna tro att koordinatförhållanden skulle ta formen av ekvationer för utvecklingen av de fyra koordinaterna, och faktiskt i vissa fall (t.ex. det harmoniska koordinatvillkoret) kan de sättas i den formen. Det är dock mer vanligt att de visas som fyra ytterligare ekvationer (utöver Einsteins fältekvationer) för utvecklingen av den metriska tensorn. Einsteins fältekvationer ensamma bestämmer inte helt utvecklingen av metriken i förhållande till koordinatsystemet. Det kan tyckas att de skulle göra det eftersom det finns tio ekvationer för att bestämma metrikens tio komponenter. Men på grund av den andra Bianchi-identiteten för Riemann-krökningstensorn är divergensen för Einstein-tensoren noll vilket betyder att fyra av de tio ekvationerna är redundanta, vilket lämnar fyra frihetsgrader som kan associeras med valet av de fyra koordinaterna. Samma resultat kan härledas från en Kramers-Moyal-van-Kampen-expansion av Master-ekvationen (med Clebsch-Gordan-koefficienterna för nedbrytning av tensorprodukter) .

Harmoniska koordinater

Huvudartikel: Harmoniskt koordinattillstånd

Ett särskilt användbart koordinatvillkor är det harmoniska tillståndet (även känt som "de Donder-mätaren"):

$0=\Gamma _{\beta \gamma }^{\alpha }g^{\beta \gamma }\!.$

Här är gamma en Christoffel-symbol (även känd som den "affina anslutningen"), och "g" med upphöjda skrifter är inversen av den metriska tensorn . Detta harmoniska tillstånd används ofta av fysiker när de arbetar med gravitationsvågor . Detta villkor används också ofta för att härleda den post-newtonska approximationen .

Även om det harmoniska koordinattillståndet i allmänhet inte är kovariant, är det Lorentz kovariant. Detta koordinatvillkor löser tvetydigheten för den metriska tensorn $g_{\mu \nu }\!$ genom att tillhandahålla ytterligare fyra differentialekvationer som den metriska tensorn måste uppfylla.

Synkrona koordinater

Huvudartikel: Synkrona koordinater

Ett annat särskilt användbart koordinatvillkor är det synkrona villkoret:

$g_{01}=g_{02}=g_{03}=0\!$

och

$g_{00}=-1\!$ .

Synkrona koordinater är också kända som Gaussiska koordinater. De används ofta inom kosmologi .

Det synkrona koordinattillståndet är varken generellt kovariant eller Lorentz kovariant. Detta koordinatvillkor löser tvetydigheten för den metriska tensorn $g_{\mu \nu }\!$ genom att tillhandahålla fyra algebraiska ekvationer som den metriska tensorn måste uppfylla.

Andra koordinater

Många andra koordinatförhållanden har använts av fysiker, fastän ingen är så genomgripande som de som beskrivits ovan. Nästan alla koordinatvillkor som används av fysiker, inklusive de harmoniska och synkrona koordinatvillkoren, skulle uppfyllas av en metrisk tensor som överallt är lika med Minkowski-tensoren . (Men eftersom Riemann- och därmed Ricci-tensorn för Minkowski-koordinater är identiskt noll, ger Einstein-ekvationerna noll energi/materia för Minkowski-koordinater; så Minkowski-koordinater kan inte vara ett acceptabelt slutligt svar.) Till skillnad från de harmoniska och synkrona koordinatförhållandena, kan vissa vanliga koordinatvillkor kan vara antingen underbestämmande eller överbestämmande.

Ett exempel på ett underdeterminativt villkor är det algebraiska uttalandet att determinanten för den metriska tensorn är −1, vilket fortfarande lämnar avsevärd måttfrihet. Detta villkor skulle behöva kompletteras med andra villkor för att undanröja tvetydigheten i den metriska tensorn.

Ett exempel på ett överbestämmande villkor är det algebraiska uttalandet att skillnaden mellan den metriska tensorn och Minkowski-tensorn helt enkelt är en noll fyra-vektor gånger sig själv, vilket är känt som en Kerr-Schild- form av metriken. Detta Kerr-Schild-tillstånd går långt utöver att ta bort koordinat-ambiguity, och föreskriver därmed också en typ av fysisk rum-tidsstruktur. Determinanten för den metriska tensorn i ett Kerr-Schild-mått är negativ, vilket i sig är ett underdeterminativt koordinatvillkor.

När man väljer koordinatförhållanden är det viktigt att akta sig för illusioner eller artefakter som kan skapas av det valet. Till exempel kan Schwarzschild-metriken inkludera en skenbar singularitet på en yta som är skild från punktkällan, men den singulariteten är bara en artefakt av valet av koordinatförhållanden, snarare än att den härrör från den faktiska fysiska verkligheten.

Om man ska lösa Einsteins fältekvationer med hjälp av ungefärliga metoder som den post-newtonska expansionen , så bör man försöka välja ett koordinatvillkor som gör att expansionen konvergerar så snabbt som möjligt (eller åtminstone förhindrar att den divergerar). På samma sätt måste man för numeriska metoder undvika kaustik (koordinatsingulariteter).

Lorentz kovarianta koordinatförhållanden

Om man kombinerar ett koordinattillstånd som är Lorentz-kovariant, såsom det ovannämnda harmoniska koordinatvillkoret, med Einsteins fältekvationer , så får man en teori som i någon mening överensstämmer med både speciell och allmän relativitet. Bland de enklaste exemplen på sådana koordinatförhållanden är dessa:

1. $g_{\alpha \beta ,\gamma }\eta ^{\beta \gamma }=k\,g_{\mu \nu ,\alpha }\eta ^{\mu \nu }\,.$
2. $g^{\alpha \beta }{}_{,\beta }=k\,g^{\mu \nu }{}_{,\gamma }\eta _{\mu \nu}\eta ^{\alpha \gamma }\,.$

där man kan fixa konstanten k till vilket lämpligt värde som helst.