S (mängdlära)

S är en axiomatisk mängdteori som formulerades av George Boolos i sin artikel från 1989, "Iteration Again". S , en första ordningens teori, är tvåsorterad eftersom dess ontologi inkluderar "stadier" såväl som mängder . Boolos designade S för att förkroppsliga hans förståelse av den "iterativa uppfattningen om mängd" och den tillhörande iterativa hierarkin . S har den viktiga egenskapen att alla axiom i Zermelos mängdlära Z , utom axiom extensionality och axiom of choice , är satser av S eller en liten modifiering därav.

Ontologi

Varje gruppering av matematiska , abstrakta eller konkreta objekt, oavsett form, är en samling , en synonym för vad andra mängdteorier refererar till som en klass . De saker som utgör en samling kallas element eller medlemmar. Ett vanligt exempel på en samling är diskursdomänen för en första ordningens teori .

Alla uppsättningar är samlingar, men det finns samlingar som inte är uppsättningar. En synonym för samlingar som inte är uppsättningar är korrekt klass . En väsentlig uppgift för den axiomatiska mängdteorin är att skilja mängder från riktiga klasser, om så bara för att matematik är grundad i mängder, med riktiga klasser förvisade till en rent beskrivande roll.

Von Neumann-universumet implementerar den "iterativa uppfattningen om mängden" genom att stratifiera universum av mängder i en serie av "stadier", där mängderna i ett givet stadium är möjliga medlemmar av mängderna som bildas på alla högre stadier. Begreppet scen går som följer. Varje steg tilldelas ett ordningsnummer . Det lägsta steget, steg 0, består av alla enheter som inte har några medlemmar. Vi antar att den enda enheten i steg 0 är den tomma uppsättningen , även om detta steg skulle inkludera alla urelement som vi skulle välja att tillåta. Steg n , n >0, består av alla möjliga mängder bildade av element som finns i alla steg vars antal är mindre än n . Varje uppsättning som bildas vid steg n kan också bildas vid varje steg större än n .

Följaktligen bildar stegen en kapslad och välordnad sekvens och skulle bilda en hierarki om uppsättningsmedlemskap var transitivt . Den iterativa uppfattningen har gradvis blivit mer accepterad, trots en ofullständig förståelse av dess historiska ursprung.

Den iterativa uppfattningen om uppsättning styr på ett välmotiverat sätt bort de välkända paradoxerna hos Russell , Burali-Forti och Cantor . Dessa paradoxer är alla ett resultat av den obegränsade användningen av principen om förståelse av naiv mängdteori . Samlingar som "klassen av alla uppsättningar" eller "klassen för alla ordtal " inkluderar uppsättningar från alla stadier av den iterativa hierarkin. Sådana samlingar kan därför inte bildas i något givet skede och kan därför inte vara uppsättningar.

Primitiva föreställningar

Detta avsnitt följer Boolos (1998: 91). Variablerna x och y sträcker sig över mängder, medan r , s och t sträcker sig över steg. Det finns tre primitiva tvåställspredikat :

• Mängd–mängd: x ∈ y anger, som vanligt, att mängden x är en medlem av mängden y ;
• Set–stage: Fxr anger att mängden x "bildas vid" steg r ;
• Steg–stadium: r < s anger att steg r "är tidigare än" steg s .

Axiomen nedan inkluderar ett definierat tvåställs set-stegspredikat, Bxr , som förkortar:

$\exists s[s<r\land Fxs].$

Bxr läses som "mängd x bildas före steg r ."

Identitet , betecknad med infix '=', spelar inte den roll i S som den spelar i andra mängdteorier, och Boolos förklarar inte helt om bakgrundslogiken inkluderar identitet. S har inget axiom för extensionalitet och identitet är frånvarande från de andra S -axiomen. Identitet förekommer i axiomschemat som skiljer S+ från S och i härledningen i S av parning , nollmängd och oändlighetsaxiom för Z .

Axiom

De symboliska axiomen som visas nedan är från Boolos (1998: 91), och styr hur uppsättningar och scener beter sig och interagerar. De naturliga språkversionerna av axiomen är avsedda att hjälpa intuitionen.

Axiomen finns i två grupper om tre. Den första gruppen består av axiom som enbart hänför sig till stadier och steg-stadie-relationen '<'.

Tra : $\forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.$

"Tidigare än" är transitivt.

Net : $\forall s\forall t\exists r[t<r\land s<r]\,.$

En konsekvens av Net är att varje steg är tidigare än något stadium.

Inf : $\exists r\exists u[u<r\land \forall t[t<r\rightarrow \exists s[t<s\land s<r]]]\,.$

Det enda syftet med Inf är att göra det möjligt att i S härleda oändlighetsaxiomet för andra mängdteorier .

Den andra och sista gruppen av axiom involverar både mängder och stadier, och andra predikat än '<':

Alla : $\forall x\exists rFxr\,.$

Varje uppsättning bildas i något skede i hierarkin.

När : $\forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.$

En uppsättning bildas i något skede om dess medlemmar bildas i tidigare skeden.

Låt A ( y ) vara en formel för S där y är fri men x inte är det. Då gäller följande axiomschema:

Spec : $\exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.$

Om det finns ett steg r så att alla uppsättningar som uppfyller A ( y ) bildas i ett steg tidigare än r , så finns det en mängd x vars medlemmar bara är de uppsättningar som uppfyller A ( y ). Rollen för Spec i S är analog med den för axiomschemat för specifikation av Z.

Diskussion

Boolos namn för Zermelos mängdteori minus extensionalitet var Z- . Boolos härledde i S alla axiom för Z- utom valets axiom . Syftet med denna övning var att visa hur det mesta av konventionell mängdteori kan härledas från den iterativa uppfattningen om mängd, antagen förkroppsligad i S . Extensionalitet följer inte av den iterativa uppfattningen, och så är inte en sats av S . S + Extensionalitet är dock fri från motsägelse om S är fri från motsägelse.

Boolos ändrade sedan Spec för att erhålla en variant av S som han kallade S+ , så att axiomschemat för ersättning är härledbart i S+ + Extensionalitet. Därför S+ + Extensionalitet kraften av ZF . Boolos hävdade också att valets axiom inte följer av den iterativa uppfattningen, men tog inte upp huruvida val skulle kunna läggas till S på något sätt. Därför S+ + Extensionalitet inte bevisa de satser i den konventionella mängdteorin ZFC vars bevis kräver val.

Inf garanterar existensen av steg ω, och av ω + n för ändlig n , men inte av steg ω + ω. Ändå ger S tillräckligt mycket av Cantors paradis för att grunda nästan all samtida matematik.

Boolos jämför S i någon längd med en variant av systemet i Frege ’s Grundgesetze , där Humes princip , taget som ett axiom, ersätter Freges Grundlag V, ett obegränsat förståelseaxiom som gjorde Freges system inkonsekvent; se Russells paradox .

Fotnoter

•   Boolos, George (1989), "Iteration Again", Philosophical Topics , 17 : 5–21, JSTOR 43154050 . Återtryckt i:   Boolos, George (1998), Logic, Logic, and Logic , Harvard University Press, s. 88–104, ISBN 9780674537675 .
•   Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy , Oxford University Press, ISBN 9780199269730 .