Ringer nästan

Inom matematiken är nästan moduler och nästan ringar vissa objekt som interpolerar mellan ringar och deras bråkfält . De introducerades av Gerd Faltings ( 1988 ) i hans studie av p -adisk Hodge-teori .

Nästan moduler

Låt V vara en lokal integraldomän med det maximala ideala m , och K ett bråktalsfält av V . Kategorin av K - moduler , K - Mod , kan erhållas som en kvot av V - Mod av Serre - underkategorin av torsionsmoduler , dvs de N så att varje element n i N förintas av något icke-noll-element i det maximala idealet. Om kategorin torsionsmoduler ersätts med en mindre underkategori får vi ett mellansteg mellan V -moduler och K -moduler. Faltings föreslog att använda underkategorin nästan noll moduler, dvs N ∈ V - Mod så att alla element n i N förintas av alla element i det maximala idealet.

För att denna idé ska fungera måste m och V uppfylla vissa tekniska villkor. Låt V vara en ring (inte nödvändigtvis lokal) och m ⊆ V ett idempotent ideal , dvs ett ideal så att m ² = m . Antag också att m ⊗ m är en platt V -modul. En modul N över V är nästan noll med avseende på sådan m om vi för alla ε ∈ m och n ∈ N har εn = 0. Nästan noll moduler bildar en Serre-underkategori av kategorin V -moduler. Kategorin av nästan V-moduler , V ^a - Mod , är en lokalisering av V - Mod längs denna underkategori.

Kvotensfunktionen V - Mod → V ^a - Mod betecknas med $\displaystyle N\mapsto N^{a}}$ { . Antagandena på m garanterar att $(-)^{a}$ är en exakt funktor som har både den högra adjoint-funktorn $M\mapsto M_{*}$ och den vänstra adjoint funktionator $M\mapsto M_{!}$ . Dessutom är $(-)_{*}$ full och trogen . Kategorien nästan moduler är komplett och medkomplett .

Ringer nästan

Tensorprodukten av V -moduler sjunker till en monoidal struktur på V ^a - Mod . En nästan modul R ∈ V ^a - Mod med en karta R ⊗ R → R som uppfyller naturförhållanden, liknande en definition av en ring, kallas en nästan V -algebra eller en nästan ring om sammanhanget är entydigt. Många standardegenskaper hos algebror och morfismer mellan dem bär till "nästan" världen.

Exempel

I den ursprungliga artikeln av Faltings var V den integrerade stängningen av en diskret värderingsring i den algebraiska stängningen av dess kvotfält , och m dess maximala ideal. Låt till exempel V vara ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{\infty }}]} ,$ dvs en p -adisk komplettering av $\operatorname {colim} \limits _{n}\mathbb {Z} _{p}[p^{1/p^{n}}]$ . Ta m för att vara det maximala idealet för denna ring. Då är kvoten V/m en nästan noll modul, medan V/p är en torsion, men inte nästan noll modul eftersom klassen p ^{1/ p 2} i kvoten inte förintas av p ^{1/ p 2} betraktad som ett element av m .

•    Faltings, Gerd (1988), "p-adic Hodge theory", Journal of the American Mathematical Society , 1 (1): 255–299, doi : 10.2307/1990970 , JSTOR 1990970 , MR 0924705
•     Gabber, Ofer ; Ramero, Lorenzo (2003), Almost ring theory , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1800, Berlin: Springer-Verlag, doi : 10.1007/b10047 , ISBN 3-540-40594-1 , MR 2004652 , S2CID 14400790