Riktad perkolation

Inom statistisk fysik hänvisar riktad perkolation ( DP ) till en klass av modeller som efterliknar filtrering av vätskor genom porösa material längs en given riktning, på grund av gravitationens effekt . Genom att variera den mikroskopiska anslutningen av porerna visar dessa modeller en fasövergång från ett makroskopiskt permeabelt (perkolerande) till ett ogenomträngligt (icke-perkolerande) tillstånd. Riktad perkolation används också som en enkel modell för epidemispridning med en övergång mellan överlevnad och utrotning av sjukdomen beroende på infektionshastigheten.

Mer generellt står termen riktad perkolation för en universalitetsklass av kontinuerliga fasövergångar som kännetecknas av samma typ av kollektivt beteende i stor skala. Riktad perkolation är förmodligen den enklaste universalitetsklassen av övergångar utanför termisk jämvikt .

Gallermodeller

Realisering av permeabla (heldragna linjer) eller slutna bindningar (ingen linje) på ett lutat kvadratiskt gitter. Klustret av platser som är förbundna med en riktad väg (följer pilarna) till källan (inringad punkt) indikeras i rött.

En av de enklaste realiseringarna av DP är obligationsriktad perkolering . Denna modell är en riktad variant av vanlig (isotropisk) perkolering och kan introduceras enligt följande. Figuren visar ett lutande kvadratiskt galler med bindningar som förbinder angränsande platser. Bindningarna är permeabla (öppna) med sannolikhet $p\,$ och ogenomträngliga (stängda) annars. Platserna och bindningarna kan tolkas som hål och slumpmässigt fördelade kanaler i ett poröst medium.

Skillnaden mellan vanlig och riktad perkolation illustreras till höger. Vid isotrop perkolering sipprar ett spridningsmedel (t.ex. vatten) som införts på en viss plats längs öppna bindningar, vilket skapar ett kluster av våta platser. I motsats till detta kan spridningsmedlet vid riktad perkolation passera öppna bindningar endast längs en föredragen riktning i rymden, såsom indikeras av pilen. Det resulterande röda klustret riktas ut i rymden.

Som en dynamisk process

Genom att tolka den föredragna riktningen som en tidsmässig frihetsgrad kan riktad perkolation betraktas som en stokastisk process som utvecklas i tiden. I fallet med bindning DP är tidsparametern $t$ diskret och alla platser uppdateras parallellt. Genom att aktivera en viss plats (kallad initialt seed) vid tidpunkten $t=0$ kan det resulterande klustret konstrueras rad för rad. Motsvarande antal aktiva platser $N(t)$ varierar med tiden.

Universell skalningsbeteende

DP- universalitetsklassen kännetecknas av en viss uppsättning kritiska exponenter . Dessa exponenter beror på den rumsliga dimensionen $d\,$ . Ovanför den så kallade övre kritiska dimensionen $d\geq d_{c}=4\,$ ges de av sina medelfältsvärden medan i $d<4\ ,$ dimensioner de har uppskattats numeriskt. Aktuella uppskattningar sammanfattas i följande tabell:

Kritiska exponenter för riktad perkolation i $d$ -dimensioner (september 2006)
exponent	$d=1\,$	$d=2\,$	$d=3\,$	$d\geq 4\,$
$\beta \,$	$0,276486\pm 0,000008$	$0,583\pm 0,003$	$0,813\pm 0,009$	$1\,$
$\nu _{\perp }$	$1,096854\pm 0,000004$	$0,733\pm 0,008$	$0,584\pm 0,005$	$\displaystyle 1/2\,$
$\nu _{\|\|}\,$	$1,733847\pm 0,000006$	$1,295\pm 0,006$	$1,11\pm 0,01$	$1\,$

Andra exempel

I två dimensioner har perkoleringen av vatten genom en tunn väv (som toalettpapper ) samma matematiska grund som strömmen av elektricitet genom tvådimensionella slumpmässiga nätverk av motstånd . Inom kemi kromatografi förstås med liknande modeller.

Utbredningen av en rivning eller rivning i ett pappersark, i ett metallark, eller till och med bildandet av en spricka i keramik har bred matematisk likhet med strömmen av elektricitet genom ett slumpmässigt nätverk av elektriska säkringar . Över en viss kritisk punkt kommer det elektriska flödet att få en säkring att slå, vilket kan leda till en kaskad av fel, som liknar spridningen av en spricka eller tår. Studien av perkolering hjälper till att indikera hur strömflödet kommer att omfördela sig själv i säkringsnätverket, och modellerar på så sätt vilka säkringar som är mest sannolikt att poppa härnäst, och hur snabbt de kommer att poppa, och i vilken riktning sprickan kan böjas i.

Exempel kan hittas inte bara inom fysiska fenomen, utan också inom biologi, neurovetenskap, ekologi (t.ex. evolution ) och ekonomi (t.ex. diffusion av innovation ).

Perkolering kan anses vara en gren av studiet av dynamiska system eller statistisk mekanik . I synnerhet uppvisar perkolationsnätverk en fasförändring runt en kritisk tröskel.

Experimentella realiseringar

Trots stora framgångar i de teoretiska och numeriska studierna av DP, har det visat sig vara en utmaning att få fram övertygande experimentella bevis. Men 2007 hittades kritiskt beteende hos DP äntligen i den elektrohydrodynamiska konvektionen av flytande kristaller, där en komplett uppsättning statiska och dynamiska kritiska exponenter och universella skalningsfunktioner för DP mättes i övergången till spatiotemporal intermittens mellan två turbulenta tillstånd.

Se även

Källor

Litteratur

Hinrichsen, Haye (2000). "Icke-jämviktskritiska fenomen och fasövergångar till absorberande tillstånd". Framsteg inom fysik . 49 (7): 815–958. arXiv : cond-mat/0001070 . Bibcode : 2000AdPhy..49..815H . doi : 10.1080/00018730050198152 . ISSN 0001-8732 . S2CID 119106856 .
Ódor, Géza (2004-08-17). "Universalitetsklasser i nonequilibrium gittersystem". Recensioner av modern fysik . 76 (3): 663–724. arXiv : cond-mat/0205644 . Bibcode : 2004RvMP...76..663O . doi : 10.1103/revmodphys.76.663 . ISSN 0034-6861 . S2CID 96472311 .
Lübeck, Sven (2004-12-30). "Universellt skalningsbeteende för icke-jämviktsfasövergångar". International Journal of Modern Physics B . World Scientific Pub Co Pte Lt. 18 (31n32): 3977–4118. arXiv : cond-mat/0501259 . Bibcode : 2004IJMPB..18.3977L . doi : 10.1142/s0217979204027748 . ISSN 0217-9792 . S2CID 119346276 .
L. Canet: "Processus de réaction-diffusion: une approche par le groupe de renormalisation non perturbatif", Thèse. Dessa en ligne
Muhammad Sahimi. Tillämpningar av perkolationsteori. Taylor & Francis, 1994. ISBN 0-7484-0075-3 (tyg), ISBN 0-7484-0076-1 (papper)
Geoffrey Grimmett. Percolation (2. ed). Springer Verlag, 1999.
Takeuchi, Kazumasa A.; Kuroda, Masafumi; Chaté, Hugues; Sano, Masaki (2007-12-05). "Riktad perkolationskritik i turbulenta flytande kristaller". Fysiska granskningsbrev . American Physical Society (APS). 99 (23): 234503. arXiv : 0706.4151 . Bibcode : 2007PhRvL..99w4503T . doi : 10.1103/physrevlett.99.234503 . ISSN 0031-9007 . PMID 18233372 . S2CID 6723341 .

Referenser

Källor