Riesz-sekvens

I matematik kallas en sekvens av vektorer ( x _n ) i ett Hilbert-rum $(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ en Riesz-sekvens om det finns konstanter $0<c\leq C<+\infty$ så att

c\left(\sum _{n}|a_{n}| ^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _{n}a_{n}x_{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\summa _{n}|a_{ n}|^{2}\höger)

för alla sekvenser av skalärer ( a _n ) i ℓ ^p rymden ℓ ² . En Riesz-sekvens kallas en Riesz- bas if

{\overline {\mathop {\rm {span}} (x_{n})}}=H

.

Satser

Om H är ett ändligt dimensionellt utrymme, så är varje bas av H en Riesz-bas.

Låt $\varphi$ vara i L ^p -utrymmet L ² ( R ), låt

\varphi _{n}(x)=\varphi (xn)

och låt ${\hat {\varphi }}$ beteckna Fouriertransformen av ${\varphi }$ . Definiera konstanterna c och C med $0<c\leq C<+\infty$ . Då är följande likvärdiga:

{\quad style 1.\quad forall (a_{n})\in \ell ^{2},\ \ c\left(\sum _{n}|a_{n}|^{2}\right)\leq \left\Vert \sum _ {n}a_{n}\varphi _{n}\right\Vert ^{2}\leq C\left(\summa _{n}|a_{n}|^{2}\right)}

2.\quad c\leq \sum _{n}\left|{\hat {\varphi }}(\omega +2\pi n)\right|^{2}\leq C

Det första av ovanstående villkor är definitionen för ( ${\varphi _{n}}$ ) för att bilda en Riesz-bas för det utrymme det spänner över .

Se även

Christensen, Ole (2001), "Frames, Riesz-baser och diskreta Gabor/Wavelet-expansioner" ( PDF) , Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 38 (3): 273–291, doi : 10.1090/S0273-0979 -01-00903-X
Mallat, Stéphane (2008), A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse Way (PDF) (3:e upplagan), s. 46–47, ISBN 9780123743701

Den här artikeln innehåller material från Riesz-sekvensen på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen . Den här artikeln innehåller material från Riesz-basis på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .