Markov kärna

I sannolikhetsteorin är en Markov-kärna (även känd som en stokastisk kärna eller sannolikhetskärna ) en karta som i den allmänna teorin om Markov-processer spelar den roll som övergångsmatrisen gör i teorin om Markov-processer med ett ändligt tillståndsrum .

Formell definition

Låt $(X,{\mathcal {A}})$ och $(Y,{\mathcal {B}})$ vara mätbara utrymmen . En Markov-kärna med källkod $(X,{\mathcal {A}})$ och mål $(Y,{\mathcal {B}})$ är en karta $\kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]$ med följande egenskaper:

För varje (fast) ${\mathcal {B}}} är$ ${\mathcal {A}}$ kartan $x\mapsto \kappa (B,x)$ A -mätbar
För varje (fast) ${\displaystyle x\in X} är$ kartan $B\mapsto \kappa (B,x)$ ett sannolikhetsmått på $(Y,{\mathcal {B}})$

Med andra ord associerar den till varje punkt $x\in X$ ett sannolikhetsmått $\kappa (dy|x):B \mapsto \kappa (B,x)$ på $(Y,{\mathcal {B}})$ så att för varje mätbar mängd $B\in {\mathcal {B}}$ , kartan $x\mapsto \kappa (B,x)$ är mätbar med avseende på $\sigma$ -algebra ${ \mathcal {A}}$ .

Exempel

Enkel slumpmässig gång på heltal

Ta $X=Y=\mathbb {Z}$ och ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\ mathcal {P}}(\mathbb {Z} )$ ( potensmängden för ${\displaystyle \mathbb {Z} } )$ . Då bestäms en Markov-kärna helt av sannolikheten den tilldelar singlar $\{m\},\,m\in Y=\mathbb {Z}$ för varje $n\in X=\mathbb {Z}$ :

\kappa (B|n)=\summa _{m\in B}\ kappa (\{m\}|n),\qquad \forall n\in \mathbb {Z} ,\,\forall B\in {\mathcal {B}}

.

definieras den slumpmässiga promenaden $\kappa$ som går till höger med sannolikhet $p$ och till vänster med sannolikhet ${\displaystyle 1-p} av$

\kappa (\{m\}|n)= p\delta _{m,n+1}+(1-p)\delta _{m,n-1},\quad \forall n,m\in \mathbb {Z}

där $\delta$ är Kroneckerdeltat . Övergångssannolikheterna $P(m|n)=\kappa (\{m\}|n)$ för den slumpmässiga promenaden är ekvivalenta med Markov-kärnan .

General Markov processer med räknebart tillståndsutrymme

Mer allmänt tar $X$ och $Y$ båda räknebara och ${\mathcal {A}}={\mathcal {P}} (X),\ {\mathcal {B}}={\mathcal {P}}(Y)$ . Återigen definieras en Markov-kärna av sannolikheten den tilldelar singleton-uppsättningar för varje $i\in X$

\kappa (B|i)=\summa _{j\in B}\ kappa (\{j\}|i),\qquad \forall i\in X,\,\forall B\in {\mathcal {B}}

,

Vi definierar en Markov-process genom att definiera en övergångssannolikhet $P(j|i)=K_{ji}$ där talen $K_{ji}$ definierar en (räknebar) stokastisk matris $(K_{ji})$ dvs.

{\begin{aligned}K_{ji}&\geq 0,\qquad &\forall (j,i)\i Y\ gånger X,\\\summa _{j\in Y}K_{ji} &=1,\qquad &\forall i\in X.\\\end{aligned}}

Vi definierar sedan

\kappa (\{j\}|i)=K_{ji}=P (j|i),\qquad \forall i\in X,\quad \forall B\in {\mathcal {B}}

.

Återigen är övergångssannolikheten, den stokastiska matrisen och Markov-kärnan ekvivalenta omformuleringar.

Markov kärna definierad av en kärnfunktion och ett mått

Låt $\nu$ vara ett mått på ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})} ,$ och $k:Y \times X\to [0,\infty ]$ en mätbar funktion med avseende på produkten $\sigma$ -algebra ${\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B} }$ så att

\int _{Y}k(y,x)\nu (\mathrm {d} y)=1,\qquad \forall x\in X

,

sedan $\kappa (dy|x)=k(y,x)\nu (dy)$ dvs mappningen

{\begin{cases}\kappa :{\mathcal {B}} \times X\to [0,1]\\\kappa (B|x)=\int _{B}k(y,x)\nu (\mathrm {d} y)\end{cases}}

definierar en Markov-kärna. Detta exempel generaliserar det räknebara Markov-processexemplet där $\nu$ var räknemåttet . Dessutom omfattar den andra viktiga exempel såsom faltningskärnorna, i synnerhet Markov-kärnorna som definieras av värmeekvationen. Det senare exemplet inkluderar den gaussiska kärnan på $X=Y=\mathbb {R}$ med $\nu (dx)=dx$ standard Lebesgue-mått och

k_{t}(y,x)={\frac {1}{{\sqrt { 2\pi }}t}}e^{-(yx)^{2}/(2t^{2})}

.

Mätbara funktioner

Ta $(X,{\mathcal {A}})$ och $(Y,{\mathcal {B}})$ godtyckliga mätbara utrymmen, och låt $f:X\to Y$ vara en mätbar funktion. Definiera nu $\kappa (dy|x)=\delta _{f(x)}(dy)$ dvs.

\kappa (B|x)=\mathbf {1} _{B}(f(x))=\mathbf {1} _{f^{-1}(B)}(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}f (x)\in B\\0&{\text{annat}}\end{cases}}

för alla

B\in {\mathcal {B}}

.

Observera att indikatorfunktionen $\mathbf {1} _{f^{-1}(B)}$ är ${\mathcal {A}}$ -mätbar för alla $B\in {\mathcal {B}}$ om $f$ är mätbar.

Detta exempel låter oss tänka på en Markov-kärna som en generaliserad funktion med ett (i allmänhet) slumpmässigt snarare än ett visst värde. Det vill säga att det är en funktion med flera värden där värdena inte är lika viktade.

Galton–Watson-processen

Som ett mindre uppenbart exempel, ta $X=\mathbb {N} ,{\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ , och $(Y,{\mathcal {B}})$ de reella talen $\mathbb {R}$ med standardsigmaalgebra för Borel-mängder . Sedan

\kappa (B|n)={\begin{cases}\mathbf {1} _{B}(0)&n=0\\\Pr(\xi _{1}+\cdots +\xi _{x}\i B)&n\neq 0\\\end{fall}}

^{[ förtydligande behövs ]}

med iid slumpvariabler $\xi _{i}$ (vanligtvis med medelvärde 0) och där $\mathbf {1} _{B}$ är indikatorfunktionen. För det enkla fallet med myntvändningar modellerar detta de olika nivåerna av en Galton-bräda .

Sammansättning av Markov-kärnor och Markov-kategorin

Givet mätbara utrymmen $(X,{\mathcal {A}})$ , $(Y,{\mathcal {B}})$ betraktar vi en Markov-kärna $\kappa :{\mathcal {B}}\times X\to [0,1]$ som en morfism $\kappa :X\to Y$ . Intuitivt, snarare än att tilldela varje $x\in X$ en skarpt definierad punkt ${\displaystyle y\in Y},$ tilldelar kärnan en "fuzzy" punkt i $Y$ som är endast känd med en viss grad av osäkerhet, ungefär som faktiska fysiska mätningar. Om vi har ett tredje mätbart utrymme $(Z,{\mathcal {C}})$ och sannolikhetskärnor $\kappa :X\to Y$ och $\lambda :Y\to Z$ , vi kan definiera en komposition $\lambda \circ \kappa :X\to Z$ med

(\lambda \circ \kappa )(dz|x)=\int _{Y }\lambda (dz|y)\kappa (dy|x)

.

Sammansättningen är associativ av Monotone Convergence Theorem och identitetsfunktionen betraktad som en Markov-kärna (dvs deltamåttet $\kappa _{1}( dx'|x)=\delta _{x}(dx')$ ) är enheten för denna komposition.

Denna komposition definierar strukturen för en kategori på de mätbara utrymmena med Markov-kärnor som morfismer som först definierades av Lawvere. Kategorin har den tomma uppsättningen som initialobjekt och enpunktsuppsättningen $*$ som terminalobjekt. Ur denna synvinkel är ett sannolikhetsutrymme $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )$ samma sak som ett spetsigt mellanslag ${\ displaystyle *\to \Omega }$ i Markov-kategorin.

Sannolikhetsutrymme definierat av sannolikhetsfördelning och en Markov-kärna

En sammansättning av ett sannolikhetsutrymme $(X,{\mathcal {A}},P_{X})$ och en sannolikhetskärna $\kappa :(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {B}})$ definierar ett sannolikhetsutrymme ${ \displaystyle (Y,{\mathcal {B}},P_{Y}=\kappa \circ P_{X})} ,$ där sannolikhetsmåttet ges av

P_{Y}(B)=\int _{X}\int _{B}\kappa (dy|x)P_{X}(dx)=\int _{X}\kappa (B|x) )P_{X}(dx)=\mathbb {E} _{P_{X}}\kappa (B|\cdot ).

Egenskaper

Halvdirekt produkt

Låt $(X,{\mathcal {A}},P)$ vara ett sannolikhetsutrymme och $\kappa$ en Markov-kärna från $( X,{\mathcal {A}})$ till några $(Y,{\mathcal {B}})$ . Sedan finns det ett unikt mått $Q$ på $(X\times Y,{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {B}})$ , Så att:

Q(A\times B)=\int _{A}\kappa (B|x)\,P(dx),\quad \forall A\in {\mathcal {A}},\quad \forall B\in {\mathcal {B}}.

Regelbunden villkorlig distribution

Låt $(S,Y)$ vara ett Borel-utrymme , $X$ a $(S,Y)$ -värderad slumpvariabel på måttets rymden $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ och ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ a sub - $\sigma$ -algebra. Sedan finns det en Markov-kärna $) {\displaystyle (S,Y)}$ $\displaystyle \kappa }$ från $(\Omega ,{\mathcal {G}})$ till , så att $\kappa (\cdot ,B)$ är en version av den villkorliga förväntan $\mathbb {E} [\mathbf {1} _{\{X\in B\}}\mid {\mathcal {G}}]$ för varje $B\in Y$ , dvs.