Vidhäftande punkt

I matematik är en vidhäftande punkt (även stängningspunkt eller stängningspunkt eller kontaktpunkt ) av en delmängd $A$ av ett topologiskt utrymme $X,$ en punkt $x$ i $X$ så att varje grannskap av $x$ (eller motsvarande, varje öppen grannskap av $x$ ) innehåller minst en punkt av $A.$ En punkt $x\in X$ är en vidhäftande punkt för $A$ om och endast om $x$ är i slutet av $A,$ alltså

$x\in \operatorname {Cl} _{X}A$ om och endast om för alla öppna delmängder $U\subseteq X,$ om $x\in U{\text{ sedan }}U\cap A\neq \varnothing .$

Den här definitionen skiljer sig från den för en gränspunkt i en mängd , genom att för en gränspunkt krävs att varje grannskap av $x$ innehåller minst en punkt av $A$ som skiljer sig från $x.$ Således är varje gränspunkt en vidhäftande punkt, men det omvända är inte sant. En vidhäftande punkt för $A$ är antingen en gränspunkt för $A$ eller ett element av $A$ (eller båda). En vidhäftande punkt som inte är en gränspunkt är en isolerad punkt .

Intuitivt, med en öppen uppsättning $A$ definierad som området inom (men inte inklusive) någon gräns, är de vidhäftande punkterna för $A$ de för $A$ inklusive gränsen.

Exempel och tillräckliga villkor

Om $S$ är en icke-tom delmängd av $\mathbb {R}$ som är avgränsad ovan, då är supremum $\sup S$ ansluten till $S.$ I intervallet ${\displaystyle (a,b],} är$$a$ en vidhäftande punkt som inte är i intervallet, med vanlig topologi för ${\ displaystyle \mathbb {R} .}$

En delmängd $S$ av ett metriskt utrymme $M$ innehåller alla dess vidhäftande punkter om och endast om $S$$M.$ ( sekventiellt ) stängd i

Vidhäftande punkter och delrum

Antag att $x\in X$ och $S\subseteq X\subseteq Y,$ där $X$ är ett topologiskt delrum av $Y$ ( det vill säga $X$ är försedd med subrymdstopologin inducerad på den av $Y$ ). Då $x$ en adherent punkt till $S$ i $X$ om och endast om $x$ är en adherent punkt till $S$ i $Y.$

Bevis

Genom antagande, $S\subseteq X\subseteq Y$ och $x\in X.$ Om vi ​​antar att $låter {\displaystyle x\in \operatorname {Cl} _{X}S,}$$V$ vara en grannskap av ${\ displaystyle x}$ i $Y$ så att $x\in \operatorname {Cl} _{Y}S$ kommer att följa när det visas att $V\cap S\neq \varnothing .$ Mängden $U:=V\cap X$ är en grannskap av $x$ i $X$ ( per definition av delrumstopologin ) så att $x\in \operatornamn {Cl} _{X}S$ antyder att $\varnothing \neq U\cap S.$ Således $\varnothing \neq U\cap S=(V\cap X) \cap S\subseteq V\cap S,$ enligt önskemål. För det omvända, antag att $x\in \operatorname {Cl} _{Y}S$ och låt $U$ vara en grannskap av $x$ i ${ \displaystyle X}$ så att $x\in \operatorname {Cl} _{X}S$ kommer att följa när det visas att $U\cap S\neq \varnothing .$ Enligt definitionen av subrymdtopologin finns det en grannskap $V$ av $x$ i $Y$ så att $U=V\cap X.$ Nu innebär $x\in \operatörsnamn {Cl} _{Y}S$ att $\varnothing \neq V\cap S.$ Från $S\subseteq X$ följer att $S=X\cap S$ och så $\varnothing \neq V\cap S=V\cap (X\cap S)=(V\cap X)\ cap S=U\cap S,$ enligt önskemål. $\blacksquare$

Följaktligen är $x$ en vidhäftande punkt för $S$ i $X$ om och endast om detta är sant för $x$ i varje (eller alternativt, i vissa) topologiska superrymden $X.$

Vidhäftande punkter och sekvenser

Om $S$ är en delmängd av ett topologiskt utrymme så hör gränsen för en konvergent sekvens i $S$ inte nödvändigtvis till $S,$ men det är alltid en adherent punkt till $S.$ Låt $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ vara en sådan sekvens och låt $x$ vara dess gräns. Sedan, per definition av limit, finns det för alla stadsdelar $U$ av $x$$n\in \mathbb {N}$ så att $x_{ n}\in U$ för alla $n\geq N.$ I synnerhet $x_{N}\in U$ och även $x_{N}\in S,$ så ${\ displaystyle x}$ är en vidhäftande punkt till $S.$ I motsats till föregående exempel är gränsen för en konvergent sekvens i $S$ inte nödvändigtvis en gränspunkt för $S$ ; betrakta till exempel $S=\{0\}$ som en delmängd av $\mathbb {R} .$ Då är den enda sekvensen i $S$ den konstanta sekvensen $0,0,\ldots$ vars gräns är $0,$ men ${ \displaystyle 0}$ är inte en gränspunkt för $S;$ det är bara en vidhäftande punkt till $S.$

Se även

• Sluten uppsättning – Komplement till en öppen delmängd
• Stängning (topologi) – Alla punkter och gränspunkter i en delmängd av ett topologiskt utrymme
• Gräns ​​för en sekvens – Värde som tenderar till en oändlig sekvens
• Gränspunkt för en uppsättning – Klusterpunkt i ett topologiskt utrymme Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Efterföljande gräns – Gränsen för någon efterföljd

Citat

•   Adamson, Iain T., A General Topology Workbook , Birkhäuser Boston; 1:a upplagan (29 november 1995). ISBN 978-0-8176-3844-3 .
•   Apostol, Tom M. , Mathematical Analysis , Addison Wesley Longman; andra upplagan (1974). ISBN 0-201-00288-4
•   Lipschutz, Seymour ; Schaum's Outline of General Topology , McGraw-Hill; 1:a upplagan (1 juni 1968). ISBN 0-07-037988-2 .
• LA Steen , JASeebach, Jr. , Counterexamples in topology , (1970) Holt, Rinehart och Winston, Inc..
• Den här artikeln innehåller material från Adherent point på PlanetMath , som är licensierad under Creative Commons Attribution/Share-Alike-licensen .