Ratners satser

Inom matematik är Ratners satser en grupp av stora satser inom ergodisk teori om unipotenta flöden på homogena utrymmen bevisade av Marina Ratner runt 1990. Satserna växte fram ur Ratners tidigare arbete med horocykelflöden. Studiet av dynamiken hos unipotenta flöden spelade en avgörande roll i beviset på Oppenheim-förmodan av Grigory Margulis . Ratners teorem har väglett viktiga framsteg i förståelsen av dynamiken hos unipotenta flöden. Deras senare generaliseringar ger sätt att både skärpa resultaten och utvidga teorin till inställningen av godtyckliga semisenkla algebraiska grupper över ett lokalt fält .

Kort beskrivning

Ratners omloppsförslutningssats hävdar att stängningarna av banor av unipotenta flöden på kvoten av en Lie-grupp med ett gitter är fina, geometriska delmängder. Ratners ekvifördelningssats hävdar vidare att varje sådan bana är jämnfördelad i sin stängning. Ratner -måttets klassificeringssats är det svagare påståendet att varje ergodiskt invariant sannolikhetsmått är homogent eller algebraiskt : detta visar sig vara ett viktigt steg mot att bevisa den mer allmänna ekvifördelningsegenskapen. Det finns ingen universell överenskommelse om namnen på dessa satser: de är olika kända som "måttstyvhetssatsen", "satsen om invarianta mått" och dess "topologiska version" och så vidare.

Den formella redogörelsen för ett sådant resultat är följande. Låt $G$ vara en Lie-grupp , ${\mathit {\Gamma }}$ ett gitter i $G$ och $u^{t}$ en en- parameterundergrupp av $G$ bestående av unipotenta element, med tillhörande flöde $\phi _{t}$ på ${\mathit {\Gamma }}\setminus G$ . Då är stängningen av varje bana $\left\{xu^{t}\right\}$ av $\phi _{t}$ homogen. Detta betyder att det finns en ansluten , sluten undergrupp $S$ av $G$ så att bilden av omloppsbanan $\,xS\,$ för åtgärden av $S$ av högeröversättningar på $G$ under den kanoniska projektionen till ${\mathit {\Gamma }}\setminus G$ är stängd, har ett ändligt $S$ -invariant mått, och innehåller stängningen av $\phi _{t}$ -banan av $x$ som en tät delmängd .

Exempel: $SL_{2}(\mathbb {R} )$

Det enklaste fallet som påståendet ovan gäller är $G=SL_{2}(\mathbb {R} )$ . I det här fallet tar det följande mer explicita form; låt $\Gamma$ vara ett gitter i $SL_{2}(\mathbb {R} )$ och $F\subset \Gamma \backslash G$ en sluten delmängd som är invariant under alla kartor $\Gamma g\mapsto \Gamma (gu_{t})$ där $u_{ t}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}$ . Då finns det antingen en $x\in \Gamma \backslash G$ så att $F=xU$ (där $U=\{u_{t},t\in \mathbb {R} \}$ ) eller $F=\Gamma \backslash G$ .

I geometriska termer är $\Gamma$ en kofinit fuchsisk grupp , så kvoten $M=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}$ för det hyperboliska planet med $\Gamma$ är en hyperbolisk orbifold med ändlig volym. Satsen ovan antyder att varje horocykel av $\mathbb {H} ^{2}$ har en bild i $M$ som antingen är en sluten kurva (en horocykel runt en spets av ${\displaystyle) M}$ ) eller tät i $M$ .

Se även

Likfördelningssats

Utställningar

Morris, Dave Witte (2005). Ratners teorem om unipotenta flöden (PDF) . Chicago föreläsningar i matematik. Chicago, IL: University of Chicago Press. ISBN 978-0-226-53984-3 . MR 2158954 .
Einsiedler, Manfred (2009). "Vad är... mäta stelhet?" (PDF) . Meddelanden från AMS . 56 (5): 600–601.

Utvalda originalartiklar

Ratner, Marina (1990). "Strikt mått på stelhet för unipotenta undergrupper av lösbara grupper". Uppfinna. Matematik. 101 (2): 449–482. doi : 10.1007/BF01231511 . MR 1062971 .
Ratner, Marina (1990). "På mätning av stelhet av unipotenta undergrupper av semisimpla grupper" . Acta Math. 165 (1): 229–309. doi : 10.1007/BF02391906 . MR 1075042 .
Ratner, Marina (1991). "På Raghunathans måttangivelse". Ann. av matte. 134 (3): 545–607. doi : 10.2307/2944357 . MR 1135878 .
Ratner, Marina (1991). "Raghunathans topologiska gissningar och distributioner av unipotenta flöden". Duke Math. J. 63 (1): 235–280. doi : 10.1215/S0012-7094-91-06311-8 . MR 1106945 .
Ratner, Marina (1993). "Raghunathans gissningar för p-adiska Lie-grupper". International Mathematics Research Notices (5): 141–146. doi : 10.1155/S1073792893000145 . MR 1219864 .
Ratner, Marina (1995). "Raghunathans gissningar för kartesiska produkter från verkliga och p-adiska Lie-grupper". Duke Math. J. 77 (2): 275-382. doi : 10.1215/S0012-7094-95-07710-2 . MR 1321062 .
Margulis, Grigory A. ; Tomanov, Georges M. (1994). "Invarianta åtgärder för unipotenta gruppers handlingar över lokala fält på homogena utrymmen". Uppfinna. Matematik. 116 (1): 347–392. doi : 10.1007/BF01231565 . MR 1253197 .