Rationell zeta-serie

Inom matematiken är en rationell zetaserie representationen av ett godtyckligt reellt tal i termer av en serie bestående av rationella tal och Riemann zetafunktionen eller Hurwitz zetafunktionen . Specifikt, givet ett reellt tal x , ges den rationella zetaserien för x av

x=\sum _{n=2}^{\infty }q_{n}\zeta (n,m)

där q _n är ett rationellt tal, värdet m hålls fast och ζ( s , m ) är Hurwitz zeta-funktionen. Det är inte svårt att visa att vilket reellt tal x som helst kan utökas på detta sätt.

Elementär serie

För heltal m>1 har man

x=\summa _{n=2}^{\infty }q_{n}\left [\zeta (n)-\summa _{k=1}^{m-1}k^{-n}\höger]

För m=2 har ett antal intressanta tal ett enkelt uttryck som rationell zetaserie:

1=\sum _{n=2}^{\infty }\left[\zeta (n)-1\right]

och

1-\gamma =\summa _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n}} \vänster[\zeta (n)-1\höger]

där γ är Euler-Mascheroni-konstanten . Serien

\log 2=\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}} \left[\zeta (2n)-1\right]

följer genom att summera Gauss–Kuzmin-fördelningen . Det finns också serier för π:

\log \pi =\sum _{n=2}^{\infty }{\ frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}\vänster[\zeta (n)-1\höger]

och

{\frac {13}{30}}-{\frac {\pi }{8}}= \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{2n}}}\left[\zeta (2n)-1\right]

anmärkningsvärt på grund av dess snabba konvergens. Denna sista serie följer av den allmänna identiteten

\summa {n=1}^{\infty }(-1)^{n}t^{2n}\left[\zeta (2n)-1\right]={\frac {t^{2}}{1+ t^{2}}}+{\frac {1-\pi t}{2}}-{\frac {\pi t}{e^{2\pi t}-1}}

vilket i sin tur följer av genereringsfunktionen för Bernoulli-talen

{\frac {t}{e^{t}-1}}=\summa _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {t^{n}}{n! }}

Adamchik och Srivastava ger en liknande serie

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {t^{ 2n}}{n}}\zeta (2n)=\log \left({\frac {\pi t}{\sin(\pi t)}}\right)

Polygamma-relaterade serier

Ett antal ytterligare samband kan härledas från Taylor-serien för polygammafunktionen vid z = 1, vilket är

\psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\; \zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}

.

Ovanstående konvergerar för | z | < 1. Ett specialfall är

\sum _{n=2}^{\infty }t ^{n}\left[\zeta (n)-1\right]=-t\left[\gamma +\psi (1-t)-{\frac {t}{1-t}}\right]

som håller för | t | < 2. Här är ψ digammafunktionen och ψ ^{( m )} är polygammafunktionen. Många serier som involverar binomialkoefficienten kan härledas:

\sum _{k=0}^{\infty }{k+\ nu +1 \välj k}\vänster[\zeta (k+\nu +2)-1\höger]=\zeta (\nu +2)

där ν är ett komplext tal. Ovanstående följer av serieexpansionen för Hurwitz zetan

\zeta (s,x+y)=\ summa _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \välj s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x)

taget vid y = −1. Liknande serier kan erhållas med enkel algebra:

\sum _{k=0}^{\infty }{k+\nu +1 \välj k+1}\vänster[\zeta (k+\nu +2)-1\höger]=1

och

\sum _{k=0} ^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \välj k+1}\vänster[\zeta (k+\nu +2)-1\höger]=2^{-(\nu +1)}

och

\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \välj k+2}\vänster[\zeta (k+\nu +2)-1\höger] =\nu \left[\zeta (\nu +1)-1\right]-2^{-\nu }

och

\ summa _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{k+\nu +1 \välj k}\left[\zeta (k+\nu +2)-1\right]=\zeta (\nu +2)-1-2^{-(\nu +2)}

För heltal n ≥ 0, serien

S_{n}=\summa _{k=0}^{\infty }{k+n \välj k}\vänster[\zeta (k+n+2)-1\höger]

kan skrivas som den ändliga summan

S_{n}=(-1)^{n}\left[1+\summa _{k= 1}^{n}\zeta (k+1)\höger]

Ovanstående följer av den enkla rekursionsrelationen S _n + S _{n + 1} = ζ( n + 2). Därefter serien

T_{n}=\summa _{k=0}^{\infty }{k +n-1 \välj k}\vänster[\zeta (k+n+2)-1\höger]

kan skrivas som

T_{n }=(-1)^{n+1}\vänster[n+1-\zeta (2)+\summa _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}(nk) \zeta (k+1)\höger]

_för heltal n _{≥ + 1} 1. Ovanstående följer av identiteten Tn + Tn = Sn _. Denna process kan tillämpas rekursivt för att erhålla finita serier för allmänna uttryck av formen