Radiodrome

I geometri är en radiodrome jaktkurvan följt av en punkt som följer en annan linjärt rörlig punkt. Termen härstammar från de grekiska orden ῥᾴδιος , rhā́idios , 'lättare' och δρόμος , drómos , 'springa'. Den klassiska (och mest kända) formen av en radiodrome är känd som "hundkurvan"; det här är vägen en hund följer när den simmar över en bäck med ström efter något den har upptäckt på andra sidan. Eftersom hunden driver med strömmen måste den byta kurs; den kommer också att behöva simma längre än om den hade tagit den optimala kursen. Detta fall beskrevs av Pierre Bouguer 1732.

En radiodrome kan alternativt beskrivas som den väg en hund följer när den jagar en hare, förutsatt att haren löper i en rak linje med konstant hastighet.

Banan för en hund som jagar en hare som springer längs en vertikal rak linje med konstant hastighet. Hunden springer mot harens momentana position och kommer att ändra sin kurs kontinuerligt.

Matematisk analys

Inför ett koordinatsystem med origo vid hundens position vid tiden noll och med y -axeln i den riktning haren springer med konstant hastighet V _t . Harens position vid tidpunkt noll är ( A _x , A _y ) med A _x > 0 och vid tidpunkt t är den

$(T_{x}\ ,\ T_{y})\ =\ (A_{x}\ ,\ A_{y}+V_{t}t)~.$

 

 

 

 

()

Hunden springer med konstant hastighet _Vd mot harens momentana position.

Differentialekvationen som motsvarar hundens rörelse, ( x ( t ), y ( t )) , är följaktligen

${\dot {x}}=V_{d}\ {\frac {T_{x}-x }{\sqrt {(T_{x}-x)^{2}+(T_{y}-y)^{2}}}}$

 

 

 

 

()

${\dot {y}}=V_{d}\ {\frac {T_{y}-y}{\sqrt {(T_{x}-x)^{2}+(T_{y}- y)^{2}}}}~.$

 

 

 

 

()

Det är möjligt att få ett analytiskt uttryck i sluten form y = f ( x ) för hundens rörelse. Av ( 2 ) och ( 3 ) följer att

$y'(x)={\frac {T_{y}-y}{T_{x}-x}}$ .

 

 

 

 

()

Multiplicera båda sidorna med $T_{x}-x$ och ta derivatan med avseende på x , med hjälp av det

$\displaystyle {\frac {dT_{y}}{dx}}\ =\ {\frac {dT_ {y}}{dt}}\ {\frac {dt}{dx}}\ =\ {\frac {V_{t}}{V_{d}}}\ {\sqrt {{y'}^{2 }+1}}~,}$

 

 

 

 

()

man får

$y''={\frac {V_{t}\ {\sqrt {1+{y'}^{2}}} }{V_{d}(A_{x}-x)}}$

 

 

 

 

()

eller

${\frac {y''}{\sqrt {1+{y'}^{2}}}}={\frac {V_{t}}{V_{d}(A_{x}-x )}}~.$

 

 

 

 

()

Av detta förhållande följer det

$\sinh ^{-1}(y')=B-{\frac {V_{t}} {V_{d}}}\ \ln(A_{x}-x)~,$

 

 

 

 

()

där B är integrationskonstanten som bestäms av initialvärdet för y ' vid tidpunkten noll, y' (0)= sinh( B − ( V _t /V _d ) ln A _x ) , dvs.

$B={\frac {V_{t}}{V_{d}}}\ \ln(A_{x})+\ln \left(y'(0)+{\sqrt {{y'( 0)}^{2}+1}}\höger).$

 

 

 

 

()

Av ( 8 ) och ( 9 ) följer efter viss beräkning att

$y'={\frac {1}{2}}\left[\left(y'(0)+{\sqrt {{y'(0)}^{ 2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}} +\left(y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x}}} \right)^{\frac {V_{t}}{V_{d}}}\right]$ .

 

 

 

 

()

Dessutom, eftersom y (0)=0 , följer det av ( 1 ) och ( 4 ) att

$y'(0)={\frac {A_{y}}{A_{x}}}$ .

 

 

 

 

()

Om nu Vt _≠ Vd _integreras relation ( 10 ) till

$y=C-{\frac {A_{x}}{2}}\left[ {\frac {\left(y'(0)+{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x }}}\right)^{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}+ {\frac {\left(y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right)\left(1-{\frac {x}{A_{x }}}\right)^{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\ höger],$

 

 

 

 

()

där C är integrationskonstanten. Eftersom återigen y (0)=0 är det

$C={ \frac {A_{x}}{2}}\left[{\frac {y'(0)+{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}}{1-{\ frac {V_{t}}{V_{d}}}}}+{\frac {y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}}{1+ {\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\right]$ .

 

 

 

 

()

Ekvationerna ( 11 ), ( 12 ) och ( 13 ) innebär sedan tillsammans

$y={\frac {1}{2}}\left\{{\frac {A_{y} +{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}}{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\left[1 -\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}\right]+{\frac {A_{y}-{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}} }\left[1-\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}\right ]\right\}$ .

 

 

 

 

()

Om V _t = V _{d ,} ger relation ( 10 ) istället,

$y=C-{\frac {A_{x}}{2}}\left[\left(y'(0)+{\sqrt {{y'(0)} ^{2}+1}}\right)\ln \left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(y' (0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\höger)\vänster(1-{\frac {x}{A_{x}}}\höger)^{2 }\right]$ .

 

 

 

 

()

Genom att använda y (0)=0 igen, följer det

$C={\frac {A_{x}}{4}}\left(y'(0)-{\sqrt {{y'(0)}^{2}+1}}\right).$

 

 

 

 

()

Ekvationerna ( 11 ), ( 15 ) och ( 16 ) innebär sedan tillsammans att

$y={\frac {1}{4}}\left(A_{y}-{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}\right )\left[1-\left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\right)^{2}\right]-{\frac {1}{2}}\left(A_{ y}+{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}\höger)\ln \left(1-{\frac {x}{A_{x}}}\ höger)$ .

 

 

 

 

()

Om V _t < V _d , följer det av ( 14 ) att

$\lim _{x\to A_{x}}y(x)={\frac {1}{2}}\left({\frac {A_{y}+{\sqrt {A_{x} ^{2}+A_{y}^{2}}}}{1-{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}+{\frac {A_{y}-{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}}}}{1+{\frac {V_{t}}{V_{d}}}}}\right).$

 

 

 

 

()

Om V _t ≥ V _d , har man från ( 14 ) och ( 17 ) att $\lim _{x\to A_{x}}y(x)=\ infty$ , vilket betyder att haren aldrig kommer att fångas, närhelst jakten börjar.

Se även

• Möss problem

•   Nahin, Paul J. (2012), Chases and Escapes: The Mathematics of Pursuit and Evasion , Princeton: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12514-5 .
• Gomes Teixera, Francisco (1909), Imprensa da universidade (red.), Traité des Courbes Spéciales Remarquables , vol. 2, Coimbra, sid. 255