Rachev-förhållande

Rachev-kvoten ( eller R-kvoten ) är ett risk-avkastningsprestandamått för en investeringstillgång, portfölj eller strategi. Den utarbetades av Dr Svetlozar Rachev och har studerats omfattande inom kvantitativ finansiering. Till skillnad från belöning-till-variabilitetsförhållanden , såsom Sharpe-kvot och Sortino-kvot , är Rachev-kvoten en belöning-till-risk- kvot, som är utformad för att mäta belöningspotentialen för höger svans i förhållande till risken för vänster svans i en icke-Gaussian miljö. Intuitivt representerar det potentialen för extrem positiv avkastning jämfört med risken för extrema förluster (negativ avkastning), med en sällsynthetsfrekvens q (kvantilnivå) som definieras av användaren.

Förhållandet definieras som förväntad svansavkastning (ETR) i de bästa q%-fallen dividerat med den förväntade svansförlusten (ETL) i de sämsta q%-fallen. ETL är den genomsnittliga förlust som uppstår när förlusterna överstiger Value at Risk på en fördefinierad kvantilnivå . ETR, definierad av symmetri till ETL, är den genomsnittliga vinsten som uppnås när vinsten överstiger riskvinsten på en fördefinierad kvantilnivå.

För mer skräddarsydda applikationer har det generaliserade Rachev-förhållandet definierats med olika krafter och/eller olika konfidensnivåer för ETR och ETL.

Definition

Enligt den ursprungliga versionen som introducerades av författarna 2004, definieras Rachev-förhållandet som:

$\rho \left({ x'r}\right)={\frac {CVa{R_{(1-\alpha )}}\left({{r_{f}}-x'r}\right)}{CVa{R_{(1 -\beta )}}\left({x'r-{r_{f}}}\right)}}$

eller alternativt

$\rho \left({x'r}\right)={ \frac {ET{L_{\alpha }}\left({{r_{f}}-x'r}\right)}{ET{L_{\beta }}\left({x'r-{r_{ skrämsel)}},$

där $\alpha$ och $\beta$ tillhör $\left({0,1}\right)$ , och i det symmetriska fallet: $\alpha =\beta$ . $r_{f}$ är den riskfria avkastningen och $x'r$ presenterar portföljens avkastning. ETL är den förväntade svansförlusten, även känd som villkorligt värde vid risk ( CVaR ) , definieras som:

$ET{L_{\alpha }}={\frac {1}{\alpha }}\int _{0}^{ \alpha }{Va{R_{q}}\left(X\right)dq},$

och

$Va{R_{\alpha }}=-F_{X}^{-1}\left(\alpha \right)=-\inf \left\{{x\ vänster|P{\left({X\leq x}\right)>\alpha }\right.}\höger\}$

är riskvärdet (VaR) för den slumpmässiga avkastningen $X$ .

Således kan ETL tolkas som den genomsnittliga förlusten bortom VaR:

$ET{L_{\alpha }}\left(X\right)=E\left[{L|L>Va{R_{_{\alpha }}}}\right]$ .

Det generaliserade Rachev-förhållandet är förhållandet mellan kraften CVaR av motsatsen till överavkastningen vid en given konfidensnivå och kraften CVaR för överavkastningen vid en annan konfidensnivå. Det är,

$\rho \left({x 'r}\right)={\frac {ET{L_{\left({\gamma ,\alpha }\right)}}\left({{r_{f}}-x'r}\right)}{ ET{L_{\left({\delta,\beta}\right)}}\left({x'r-{r_{f}}}\right)}},$

där ${\displaystyle ET{L_{\left({\gamma ,\alpha }\right)}}\left(X\right)=E\left[{{\rm {max}}{ {\left({L,0}\right)}^{\gamma }}|L>Va{R_{_{\alpha }}}}\right]} är kraften CVaR för X {\$ displaystyle $}$ , och $\gamma$ är en positiv konstant. Den största fördelen med det generaliserade Rachev-förhållandet jämfört med det traditionella Rachev-förhållandet tilldelas av effektindexen $\gamma$ och $\delta$ som kännetecknar en investerares aversion mot risk.

Egenskaper

Rachev-kvoten kan användas i både förhands- och efterhandsanalyser .

5 % ETL och 5 % ETR för en icke-Gaussisk avkastningsfördelning. Även om den mest sannolika avkastningen är positiv är Rachev-kvoten 0,7 < 1, vilket innebär att överförlusten inte balanseras av övervinsten i investeringen.

I efterhandsanalysen beräknas Rachev-förhållandet genom att dividera motsvarande två prov-AVaR. Eftersom prestationsnivåerna i Rachev-kvoten är kvantiler av den aktiva avkastningsfördelningen, är de relativa nivåer eftersom de anpassar sig efter fördelningen. Till exempel, om skalan är liten, kommer de två prestationsnivåerna att ligga närmare varandra. Som en konsekvens är Rachev-förhållandet alltid väldefinierat.

I förhandsanalysen är optimala portföljproblem baserade på Rachev-kvoten i allmänhet numeriskt svåra att lösa eftersom Rachev-kvoten är en bråkdel av två CVaR som är konvexa funktioner av portföljvikter. I själva verket kan Rachev-kvoten, om den ses som en funktion av portföljvikter, ha många lokala extrema.

Flera empiriska tester av Rachev-kvoten och den generaliserade Rachev-kvoten har föreslagits.

En algoritm för att lösa Rachev-förhållandeoptimeringsproblem tillhandahålls i Konno, Tanaka och Yamamoto (2011).

Exempel

Inom kvantitativ finansiering är icke-Gaussiska avkastningsfördelningar vanliga. Rachev-kvoten, som ett riskjusterat prestationsmått, kännetecknar avkastningsfördelningens skevhet och kurtos (se bilden till höger).

Se även